# Cálculo del asiento elástico tridimensional de cimentaciones de rigidez variable en terrenos con una capa rígida inclinada

Calculation of the three dimensional elastic settlement of foundations with variable rigidity on terrains with a rigid inclined layer

Departamento de Ingeniería Civil. Escuela Politécnica Superior, Universidad de Alicante

e-mail: esteban.diaz@ua.es

Departamento de Ingeniería Civil. Escuela Politécnica Superior, Universidad de Alicante

### ABSTRACT

The formulas based on the elasticity theory are widely used for the calculation of foundation settlements, as the geotechnical regulations recommends their use. However, these methods do not cover all possible geotechnical situations because, frequently, the geotechnical conditions are complex. In this work, the influence of an inclined rigid layer on the elastic settlements of a shallow foundation is analysed. For this purpose, 273 three-dimensional non-linear finite element models have been solved varying the key parameters of the problem: inclination and depth of the rigid layer and the rigidity of the foundation. Finally, a statistical analysis of the results of the models has been performed and a formula, which can be used for the calculation of the settlements to consider the presence of a rigid inclined layer in depth, has been proposed.

 Recibido: 17/03/2015; Aceptado: 30/03/2015; Publicado on-line: 24/06/2016 Citation / Cómo citar este artículo: Díaz, E., Tomás, R. (2015). Cálculo del asiento elástico tridimensional de cimentaciones de rigidez variable en terrenos con una capa rígida inclinada. Informes de la Construcción, 68(542): e144, doi: http://dx.doi.org/10.3989/ic.15.039. Palabras clave: Método de elementos finitos; cimentaciones; interacción suelo-estructura; asiento; elasticidad. Keywords: Finite Element Method; foundations; soil-structure interaction; settlement; elasticity. Licencia / License: Salvo indicación contraria, todos los contenidos de la edición electrónica de Informes de la Construcción se distribuyen bajo una licencia de uso y distribución Creative Commons Attribution License (CC BY) Spain 3.0.

 CONTENIDOS RESUMEN ABSTRACT INTRODUCCIÓN ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS OBTENCIÓN DEL FACTOR DE INFLUENCIA PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN AJUSTE DE DATOS Y FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL FACTOR DE INFLUENCIA CONCLUSIONES AGRADECIMIENTOS REFERENCIAS

# 1. INTRODUCCIÓNTop

Todas las fórmulas basadas en la teoría de la elasticidad poseen un esquema común, siendo la expresión general para el cálculo de asientos elásticos de una cimentación superficial sometida una presión uniforme neta de contacto (qnet) sobre un semiespacio elástico homogéneo e isótropo (9):

donde s es el asiento de la cimentación superficial, Be es el ancho equivalente de la cimentación, E es el módulo de Young del suelo, v es el coeficiente de Poisson del suelo e I es el factor de influencia de desplazamientos.

El factor de influencia más utilizado es el que modifica la fórmula general en función de la forma de la cimentación (10), aunque existen otros que también pueden modificarla para cubrir aspectos tales como la rigidez relativa de la cimentación, existencia en profundidad de una capa rígida, grado de empotramiento de la cimentación, etc. Es decir, estos factores modifican la fórmula general de asientos y la adecuan a casos particulares que la fórmula general no cubre. En resumen, para determinar de la forma más exacta posible la magnitud del asiento por métodos elásticos de una cimentación superficial, es necesario el empleo de los factores de influencia, algunos de los cuales se describen en (9), (11).

En consecuencia, resulta de gran interés el estudio de la influencia de la inclinación de la capa rígida en los asientos de una cimentación superficial, mediante una herramienta que permita modelizar el problema de la forma más real posible, teniendo en cuenta el carácter tridimensional del mismo, la rigidez real de la cimentación y la no linealidad debida a la interacción entre diferentes materiales como la que se produce en el contacto existente entre el terreno y la cimentación.

El objeto del presente trabajo es tratar de aprovechar la sencillez de las fórmulas de cálculo de asientos por métodos basados en la teoría de la elasticidad a través de los factores de influencia, e intentar adecuarlas a aquellos casos en los que existe la presencia de una capa rígida inclinada en profundidad. Obsérvese que en la literatura científica, no existen factores de influencia que modifiquen la fórmula general de cálculo de asientos por métodos elásticos para el caso de existencia de capa rígida inclinada en cimentaciones con cierta rigidez.

De este modo, en el presente trabajo se analizará la relación entre el asiento elástico de una cimentación superficial considerando un semiespacio elástico infinito (s) y el asiento elástico máximo (sα) de la misma cimentación considerando que descansa sobre una capa deformable finita bajo la que se encuentra un estrato rígido inclinado, con el fin de obtener un factor de influencia relacionado con este hecho (sα/s = Iα). Para ello, se realizarán una serie de modelos variando los parámetros que se consideran clave en la resolución del problema, utilizando la herramienta informática ANSYS que permite modelizar mediante el método de elementos finitos (que en adelante denominaremos MEF) los asientos sufridos por una estructura de cimentación.

Adicionalmente, en este artículo se propone una expresión analítica obtenida a partir del estudio estadístico de los datos, que permite determinar con la mayor exactitud el efecto de la inclinación de un sustrato rígido en el cálculo de asientos elásticos de una cimentación superficial. Esta expresión permitirá sistematizar el problema y poder resolverlo de una forma práctica y sencilla.

# 2. ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOSTop

Con objeto de analizar la relación (Iα) entre el asiento de una cimentación superficial en un semiespacio elástico infinito (s) con el asiento máximo de la misma cimentación en un terreno deformable bajo el cual se encuentra un sustrato rígido inclinado (sα), se ha llevado a cabo un modelo de elementos finitos tridimensional no lineal empleando el software informático ANSYS (15), (16), (17). El proceso llevado a cabo para obtener los resultados, ha conllevado tres etapas. En la primera etapa, se ha realizado un estudio de verificación, con el fin de determinar el tamaño de malla y los límites del modelo. Posteriormente, puesto que las soluciones rigurosas elásticas disponibles únicamente contemplan el caso de capa deformable finita limitada por un sustrato rígido horizontal (12), se ha verificado el modelo de elementos finitos para el caso de capa rígida horizontal (i.e. α = 0) por comparación con dichas soluciones elásticas. La última etapa consiste en la determinación de los factores de influencia, utilizando el modelo verificado en los pasos anteriores.

Como modelo constitutivo del terreno y la cimentación, se ha empleado un modelo elástico lineal. Los elementos empleados han sido elementos sólidos cuadráticos de alto orden (SOLID95), elementos con 20 nodos y tres grados de libertad por nodo. Estos elementos se han empleado tanto en la cimentación como en el terreno, realizándose un mallado progresivo, con un tamaño de malla más pequeño en las inmediaciones del contacto cimentación-terreno.

Ancho de la cimentación B m 2
Largo de la cimentación L m 2
Módulo de Young de la cimentación Ef kPa 3 ∙ 107
Coeficiente de Poisson de la cimentación νf 0,20
Módulo de Young del terreno suprayacente E kPa 2 ∙ 104
Coeficiente de Poisson del terreno suprayacente ν 1/3
Módulo de Young del terreno rígido Eb kPa 4.7 ∙ 107
Coeficiente de Poisson del terreno rígido νb 0,19

Obsérvese que no ha sido necesario considerar variables el resto de parámetros que intervienen en el cálculo de asientos (B, qnet y E), dado que el cálculo del factor de influencia es independiente de ellos, al encontrarse tanto en el numerador como en el denominador.

El canto de la cimentación se determina en función de los diferentes valores del factor de flexibilidad de la cimentación (Kf), de modo que se variará con objeto de obtener cimentaciones de diferente flexibilidad. En todos los casos existe un elemento transmisor de cargas al suelo definido por un material con un determinado módulo de Young (Ef) muy superior al del suelo infrayacente.

A una profundidad z, bajo el punto medio de la cimentación se ha situado una capa rígida en profundidad, con los parámetros mostrados en la Tabla 1 (Eb y νb), estos parámetros suponen para el rango de presiones ordinario en cimentaciones superficiales, que el material puede considerarse indeformable.

 Figura 1. a) Esquema del modelo de elementos finitos adoptado. b) Porción ampliada del modelo con detalle de la malla utilizada (caso particular α = 30).

En la Figura 1 se muestra un esquema del modelo adoptado para el caso de presencia de una capa rígida a una profundidad z por debajo de la base de la cimentación.

# 3. OBTENCIÓN DEL FACTOR DE INFLUENCIATop

Una vez realizado el estudio de verificación del modelo, se procede a resolver el mismo para los diferentes supuestos, los pasos que se han seguido se detallan a continuación:

1. Cálculo del asiento elástico máximo (sα) de una cimentación de una determinada rigidez (Kf) apoyada en una capa deformable finita con unos parámetros elásticos fijos (E y ν, ver Tabla 1) bajo la que se encuentra a una profundidad z, una capa rígida inclinada un ángulo α respecto a la horizontal.
2. Para la misma cimentación se calcula el asiento elástico (s) considerando la cimentación perfectamente flexible y suponiendo que la misma se apoya en un semiespacio elástico infinito con los mismos parámetros elásticos del terreno suprayacente (E y ν) utilizados anteriormente.
3. El proceso se repite para diferentes valores de la profundidad de la capa compresible (z), ángulo de inclinación de la capa rígida (α) y rigidez de la cimentación (Kf).
4. La relación sα/s es el factor de influencia Iα.
5. Adicionalmente para todos los casos estudiados se ha obtenido el perfil de asientos a lo largo del plano medio de la cimentación.

De este modo, simplemente calculando el asiento de una cimentación en un semiespacio elástico infinito (9), (10) y aplicando el factor de influencia propuesto en el presente trabajo, puede obtenerse de una forma sencilla, rápida y precisa el asiento de una cimentación apoyada en un estrato deformable de espesor finito bajo el que se sitúa una capa rígida inclinada.

En total se han resuelto 273 modelos, variando gradualmente los parámetros determinantes y anteriormente comentados en el cálculo de asientos.

# 4. PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓNTop

De acuerdo a los métodos presentados en el apartado anterior se han obtenido 273 valores del factor de influencia Iα.

Los modelos se agrupan según diferentes relaciones entre la profundidad de la capa rígida respecto al ancho de la cimentación (z/B), en concreto se han resuelto los casos 0,25, 0,5, 0,75, 1, 1,5, 2, 3, 5 y 10, medidos siempre desde el punto central de la cimentación hasta el techo de la capa rígida.

Todos estos casos se resuelven para 5 diferentes valores de inclinación de la capa rígida (0º, 15º, 30º, 45º y 60º). Estas inclinaciones se miden siempre paralelas a la dirección del ancho de la cimentación. Existen ciertos casos que por cuestiones geométricas no se han resuelto, ya que debido a la relación entre z/B y α, la superficie de contacto que define el techo de la capa rígida intersecta la cimentación.

Finalmente, todos estos casos se resuelven para diferentes valores de rigidez relativa definida a través del factor de flexibilidad (14) de la cimentación (100, 30, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001) que cubren todo el espectro de rigidez relativa que presentan la mayor parte de las cimentaciones que se construyen en la actualidad.

En la Figura 2, se observa la variación del factor de influencia (Iα) respecto a la relación z/B para todos los casos de inclinación de la capa rígida considerados y para cuatro valores del factor de flexibilidad estudiados (100, 10, 0,1, 0,001), los casos no representados (30, 1, 0,01) muestran una tendencia intermedia entre estos. La tendencia general es un aumento del factor de influencia a medida que disminuye la rigidez de la cimentación para una inclinación fija del sustrato rígido, situándose en valores muy cercanos a 1 para el caso de la cimentación con menor rigidez y con la relación z/B más alta analizada. Del mismo modo, para un factor de flexibilidad fijo, se produce un aumento del factor de influencia a medida que aumenta la inclinación del sustrato rígido.

 Figura 2. Variación del factor de influencia para el caso de inclinación del sustrato rígido, para las diferentes relaciones z/B y ángulos de inclinación estudiados. La figura incluye los casos de rigidez relativa extremos y frontera entre comportamientos, a) Kf = 100, b) Kf = 10, c) Kf = 1 y d) Kf = 0,001.

En la Tabla 2, se muestran los valores numéricos del factor de influencia (Iα) para el caso particular Kf =100 y para todas las relaciones z/B estudiadas y casos de inclinación (α) del sustrato rígido considerados, con objeto de poder comparar la variación entre la consideración del estrato rígido horizontal y con las distintas inclinaciones estudiadas.

Tabla 2. Valores del factor de influencia (Iα) obtenidos para el caso particular Kf=100. (*) Casos que no tienen solución por limitaciones geométricas (el techo de la capa rígida intersecta el plano de cimentación por la propia cimentación).

Caso → Capa horizontal Capa inclinada
z/B ↓ α (º) → 0 15 30 45 60
0,25 0,0778 0,1021 * * *
0,5 0,1423 0,1605 0,1790 * *
0,75 0,1985 0,2135 0,2250 0,2403 *
1 0,2478 0,2602 0,2733 0,2798 0,2900
1,5 0,3299 0,3392 0,3440 0,3580 0,3702
2 0,3958 0,4034 0,4109 0,4209 0,4395
3 0,4971 0,5086 0,5156 0,5306 0,5510
5 0,6346 0,6426 0,6526 0,6770 0,6984
10 0,8294 0,8374 0,8445 0,8604 0,8733

Como se ha mencionado en secciones anteriores, para la obtención del factor de influencia siempre se ha tenido en cuenta el asiento máximo de la cimentación, que dependiendo de la inclinación del sustrato rígido y de la rigidez relativa de la cimentación, puede ir variando de posición. A partir del estudio de todos los perfiles de asientos obtenidos, se han podido establecer dos tipos de comportamientos de las cimentaciones consideradas, un comportamiento asimilable al de una cimentación rígida, para factores de flexibilidad entre 10 y 100; y un comportamiento asimilable al de una cimentación flexible, con factores de flexibilidad entre 1 y 0,001. A continuación, se detallan las características más significativas de ambos comportamientos.

Como se ha comentado, para factores de flexibilidad (Kf) entre 100 y 10, se observa un comportamiento asimilable al de una cimentación rígida, obteniéndose perfiles de asientos predominantemente lineales y que varían según la inclinación del sustrato. Para el caso horizontal (α= 0) se obtiene el valor máximo en el centro y los mínimos en los bordes, con pequeñas diferencias entre ambos. Una vez que el sustrato se inclina, se produce un perfil de asientos lineal con un mínimo en el borde de la cimentación situado en la zona con menor espesor de estrato compresible y un máximo en el borde opuesto, acentuándose la diferencia a medida que aumenta la inclinación. Del mismo modo, a medida que aumenta la relación z/B, este perfil se ve modificado paulatinamente para ir pareciéndose más al perfil de asientos del caso de capa rígida horizontal, aunque siempre manteniendo el máximo en la posición del borde situado en la zona con mayor espesor de terreno deformable y reduciéndose la diferencia entre los valores de asiento máximo y mínimo. Todos estos aspectos se representan en la Figura 3, mostrándose los casos límite del factor de flexibilidad en los que la cimentación posee un comportamiento asimilable al de una cimentación rígida (100 ≥ Kf ≥ 10) y para los casos extremos de inclinación del sustrato rígido (α = 15º y 60º).

 Figura 3. Perfil de asientos para el caso de cimentación cuyo comportamiento puede considerarse rígido, con menor factor de flexibilidad (Kf = 10) para todas las relaciones z/B estudiadas. Se presentan los casos extremos de inclinación del sustrato rígido, a) α= 15º y b) α= 60º. Datos tomados en el plano medio de la cimentación.

A partir de un valor del factor de flexibilidad igual a 1, la cimentación posee un comportamiento que ya no puede considerarse rígido, produciéndose un cambio en la forma de los perfiles de asientos, para el caso de sustrato horizontal el perfil sigue manteniendo un mínimo en las esquinas y un máximo en el centro, aunque con diferencias más acentuadas y careciendo del perfil lineal anteriormente expuesto. A medida que aumenta la inclinación de la capa rígida, se producen diferencias superiores entre los valores mínimo y máximo; y además el valor máximo ya no se sitúa en el extremo de la cimentación en el que existe el mayor espesor de terreno deformable, si no que se sitúa en una posición intermedia entre el punto medio y dicho extremo, aunque más cerca del extremo para inclinaciones de sustrato altas y/o relaciones z/B bajas, para ir acercándose al punto medio a medida que disminuye la inclinación del sustrato o aumenta la relación z/B. Todas estas tendencias pueden contemplarse en la Figura 4.

 Figura 4. Perfil de asientos para el caso de cimentación cuyo comportamiento puede considerarse flexible, con menor factor de flexibilidad (Kf = 0.001) para todas las relaciones z/B estudiadas. Se presentan los casos extremos de inclinación del sustrato rígido, a) α = 15º y b) α = 60º. Datos tomados en el plano medio de la cimentación.

# 5. AJUSTE DE DATOS Y FORMULACIÓN PROPUESTA PARA EL FACTOR DE INFLUENCIATop

De acuerdo a las consideraciones anteriores y teniendo en cuenta las variables que determinan el valor del factor de influencia (Kf, α, z/B), en el presente apartado se exponen los resultados del análisis estadístico realizado con los datos obtenidos experimentalmente. El análisis estadístico ha consistido en un ajuste de un hiperplano a los datos derivados de los modelos resueltos mediante una regresión múltiple no lineal y una comprobación de su grado de exactitud mediante el coeficiente de determinación (R2) y el error relativo medio.

Para realizar el ajuste de los datos experimentales, se ha utilizado el programa POLY-MODEL (19) que permite la generación de familias de modelos matemáticos con parámetros no lineales basados en los datos experimentales de las variables intervinientes, empleando el algoritmo de Gauss-Newton.

La fórmula obtenida se presenta en la ecuación [2], Obteniéndose un coeficiente de determinación (R2) de 0,991 y un error relativo medio del 2,41 ± 2,18 %. En la Figura 5 se representan los valores obtenidos mediante el MEF del factor de influencia (Iα) y los estimados mediante la ecuación [2], además se han incorporado los límites del error para el intervalo ± 5 %.

 Figura 5. Comparación entre los valores del factor de influencia (Iα) reales obtenidos mediante el MEF y los estimados mediante la ecuación [2]. Se han incluido mediante puntos grises los casos correspondientes al caso de sustrato rígido horizontal (α= 0).

Los valores límite para la aplicación de la fórmula son:

100 ≥ Kf ≥ 0,001, 10 ≥ z/B ≥ 0,25 y α ≤ 60º

Por lo tanto, la ecuación [2] permite calcular el factor de influencia (Iα) que considera el asiento elástico máximo de una cimentación de rigidez Kf, que se sitúa sobre una capa deformable finita de espesor z, bajo la que se encuentra un estrato rígido inclinado un ángulo α. Este factor de influencia modifica la fórmula general de cálculo de asientos por métodos elásticos [Ecuación 1], adecuándola al caso estudiado en el presente trabajo. La expresión tendría la forma:

# 6. CONCLUSIONESTop

Se ha llevado a cabo un análisis tridimensional no lineal mediante el MEF con el objeto de analizar la relación entre el asiento de una cimentación superficial en un semiespacio elástico infinito, con el asiento máximo de la misma cimentación en un terreno deformable bajo el cual se encuentra un sustrato rígido inclinado (sα/s = Iα), para ello se han realizado un total de 273 modelos. Las conclusiones más relevantes extraídas de este estudio son:

1. Se ha realizado un modelo mediante el MEF resultado de un estudio previo de verificación, cuyos resultados ponen de manifiesto la validez del modelo empleado.
2. El estudio se ha efectuado bajo unas condiciones similares a las de la mayor parte de las cimentaciones superficiales construidas en la actualidad (cimentación de rigidez variable, de hormigón armado, interfaz rugosa, etc.) y estudiando un número considerable de casos. Este estudio tridimensional comparativo entre el asiento de una cimentación superficial en un semiespacio elástico infinito y el asiento máximo de la misma cimentación en un terreno bajo el cual se encuentra un sustrato inclinado, analizando un número tan elevado de casos, no existe en la bibliografía científica.
3. El estudio revela que la inclinación del sustrato rígido, en muchos casos, afecta de forma determinante al asiento de una cimentación superficial. De modo que el conocer con precisión este valor, es importante a la hora de garantizar que los asientos de la cimentación sean admisibles.
4. El comportamiento de las cimentaciones superficiales estudiadas, es muy diferente según su factor de flexibilidad, pudiéndose distinguir un primer grupo (100 ≥ Kf ≥ 10) en el que el comportamiento se asimila al de una cimentación rígida, obteniéndose los valores de asiento máximo en el extremo de la cimentación donde existe mayor espesor de terreno compresible. En el segundo grupo (1 ≥ Kf ≥ 0,001), el comportamiento ya no es de una cimentación rígida, si no que el valor máximo del asiento se suele localizar entre el punto central de la cimentación y el borde, en posiciones más cercanas al extremo para inclinaciones de sustrato altas y/o relaciones z/B bajas, para ir paulatinamente aproximándose al punto central según disminuye la inclinación del sustrato o aumenta la relación z/B.
5. Del análisis estadístico de los datos, una nueva fórmula que permite sistematizar el problema estudiado para su uso práctico, ha sido presentada para la obtención del factor de influencia (Iα). La formulación posee un coeficiente de determinación (R2) de 0,991, y un error relativo medio del 2,41 ± 2,18%. Esta formulación relaciona la rigidez de una cimentación superficial a través del factor flexibilidad, la relación z/B y el ángulo de inclinación del sustrato rígido con el factor de influencia (Iα).
6. Su fácil aplicación, su grado de exactitud y su bajo error, la convierten en una herramienta interesante para el cálculo del asiento máximo de una cimentación superficial en el caso de que bajo la misma exista una capa rígida inclinada, cuando no se disponen de herramientas más sofisticadas (software MEF), pudiéndose implementar en las fórmulas de cálculo de asientos basadas en la teoría de la elasticidad incluidas en la normativa geotécnica actual.

Los autores agradecen al grupo de investigación «Modelización Matemática de Sistemas» de la Universidad de Alicante, la ayuda prestada en el ajuste de los datos experimentales y especialmente al Dr. José Antonio Reyes. El trabajo se ha desarrollado en el marco del proyecto del Ministerio de Economía y Competitividad de España y los Fondos Feder TEC2011-28201-C02-02.

# REFERENCIASTop

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