2.1. Geometría del modelo. Patrón de cargas

La casuística puede ser muy amplia dentro de los distintos sectores industriales, por lo que realizar análisis con todos los tipos de estanterías con sus dimensiones posibles, puede ser largo y tedioso. En el presente artículo se ha ensayado un único modelo, tomado como ejemplo el de una industria cárnica.

El patrón de cálculo (Figura 1) se establece dentro de un recuadro limitado por juntas de retracción, que es lo más desfavorable, sin considerar juntas constructivas con pasadores o similares como se hace en otras referencias (12).

Por simetría, en aras de simplificación y versatilidad de cálculo del modelo, se ha analizado sólo la parte señalada en rojo en el esquema de la Figura 2, derivado de un análisis de sensibilidad previo.

Se añade la simplificación de que la geometría de la placa de anclaje es siempre igual (de 0,2 m × 0,2 m), con un área de contacto de 0,04 m², y las cargas consideradas por soporte de estantería han sido: 50, 65, 75, 85, 100, 120 kN, que cubren la mayor parte de necesidades de almacenaje.

El hecho de que el tamaño de placa de anclaje sea siempre el mismo, permite discretizar los distintos modelos en base a esta unidad (0,2 m × 0,2 m) suponiendo que la base de anclaje es suficientemente rígida. Además, este tamaño permite que para los espesores que se derivan del cálculo en epígrafes posteriores, se verifique la comprobación de punzonamiento según la EHE-08 (apartado 2.2.4.), aunque como se deduce de la experiencia y de la forma de trabajo de las soleras, este tipo de colapso no es habitual en la práctica (7).

Las cargas se introducen como uniformes sobre los elementos finitos en forma de presión, aspecto habitual en el cálculo de pavimentos rígidos, representando el área de contacto.

2.2. Características del hormigón

Las soleras son de hormigón ligeramente armado (HA-25) con un mallazo electrosoldado colocado para disminuir las tensiones de retracción del proceso de curado, o bien con fibras metálicas o una mezcla de ambos elementos.

Desde un punto de vista mecánico el espesor de la solera de hormigón se calcula para que no se vea superada su resistencia máxima a la flexotracción (f_ct,fl), que en el presente artículo se ha seguido la estipulada por la EHE-08 (13) y por la TR34 (2.^a edición) (9).

2.2.1. Resistencia a la flexotracción según EHE-08

La resistencia característica a compresión a los 28 días para el hormigón indicado (HA-25) es f_ck = 25 N/mm².

De acuerdo con los «comentarios» del artículo 39.6, la resistencia media real a los 28 días se puede estimar como f_cm = f_ck + 8 N/mm² = 33 N/mm².

Según EHE-08 (artículo 39) la resistencia media a tracción del hormigón (f_ct,m) es:

Y la resistencia a flexotracción (f_ct,fl):

Como se puede observar, el valor de la resistencia a flexotracción es linealmente variable con el espesor de la solera h en mm.

A efectos de cálculo se han obtenido los valores comprendidos en el rango que va desde h = 90 mm hasta h = 400 mm de milímetro en milímetro, que se ha implementado en una hoja de cálculo para seleccionar debidamente los valores límite.

En los dimensionados se evitará que las tensiones de flexotracción de cálculo para un espesor dado superen estos valores.

Por otra parte, el módulo de deformación secante a los 28 días (artículo 39.6) se obtiene de:

Que para HA-25 resulta: E_cm = 27.264,04 N/mm²

2.2.2. Resistencia a la flexotracción según TR-34 (2.^a edición) (9)

Para todos los casos se proporciona una única expresión con los que se confeccionaron los ábacos de la monografía TR34, como el que se incluye en la Figura 3.

Figura 3. Modelo de cálculo discretizado de la solera con la posición de las cargas introducidas en SAP2000 (izquierda). Modelo tridimensional renderizado (derecha).

De donde f_ct,fl = 3,360 N/mm², más conservadora, por tanto, para espesores de solera inferiores a 290 mm.

2.3. Características del suelo

Se van a analizar cinco tipos de terreno, entendiendo éste como la explanada. Sobre la explanada y por debajo de la solera se extenderá una capa de zahorra artificial seleccionada compactada al 100 % del Próctor Modificado de 0,4 m de espesor en todos los casos como base granular. Es un espesor probado por la experiencia que además de conseguir de «colchón» de reparto de cargas uniforme, evita la ascensión del agua (humedad) por capilaridad.

La casuística del terreno puede ser muy amplia. A título de ejemplo se ha considerado que la suma de las zahorras artificiales más la explanada es 1,2 m.

Las características de las distintas explanadas y la base granular aplicadas al ejemplo, con carácter general, se recogen en la Tabla 1 (valor resaltado en negrita). Dichos parámetros han sido obtenidos entre horquillas de valores de distintas referencias (10), (11), (14), (15), (16), (17) y cuyos valores también se recogen en la Tabla 1 (máximo y mínimo). Para las propiedades de la zahorra artificial pueden tomarse los valores y características correspondientes al PG3 (18) y la Instrucción 6.1.I-C. (19).

Donde E es el módulo de deformación del terreno y k₃₀ el coeficiente de balasto correspondiente a la placa de 30 cm (17).

Para el segundo método de cálculo se va a utilizar el coeficiente de balasto como elemento soporte de suelo, de acuerdo con la teoría de Winkler (20).

Al tratarse de una sección multicapa se han utilizado las siguientes expresiones [5] y [6] recogidas en las referencias (21), (22) para trabajar con un único coeficiente de balasto medio. Es decir, se han elegido expresiones existentes, cuya novedad reside en su combinación. En la teoría de firmes flexibles se suele recurrir a Burmister (23), procedimiento que resulta más complejo a no ser que se haya implementado en un programa informático (24).

De acuerdo con los trabajos anteriormente citados, el módulo de deformación E medio (E_sb) del conjunto constituido por la base y la explanada se obtiene mediante la expresión [5]:

Donde n es el número de capas, h_i el espesor de cada capa y E_i el módulo de deformación de cada capa, que varía desde 1 hasta n, siendo n la base granular superior.

De acuerdo con Escario et al. (23) se puede obtener el coeficiente de balasto medio kmed a partir de la siguiente expresión aproximada:

Siendo a el radio de la placa de 30 pulgadas = 0,762 m, que es la típica que se usa para pavimentos rígidos de hormigón (10), (11). Los valores de E_sb y kmed calculados con las expresiones [5] y [6] para cada uno de los tipos de suelo considerados se recogen en la Tabla 2.

Una relación aproximada de los valores de k viene recogida en la ACI-360 para placa de 12 pulgadas de radio (1 pie, aproximadamente 30 cm) y de 30 pulgadas. La correlación entre ambos valores únicamente depende de la superficie de apoyo y es lineal, tal y como recoge Escario et al. (23).

3.1. Procedimiento de cálculo de la Concrete Society (Technical Report TR34-2.a edición)

El Technical Report no. 34 de la Concrete Society, 2.^a edición (1994) (9), recoge en el apartado 5.3.5 una serie de nomogramas para obtener el espesor del pavimento a partir del valor del coeficiente de balasto, que a su vez se puede determinar gráficamente a partir del valor del CBR de las capas subyacentes. Así pues ofrece tres ábacos, uno para k = 15MN/m³, otro para k = 30 MN/m³ y el último para uno mejorado de k = 55 MN/m³.

La Cement and Concrete Association of Australia obtuvo dichos ábacos en 1985 (25) que después fueron incorporados a la TR34 británica. También ha sido adaptado e incorporado en otras publicaciones como en Jofré et al. (26).

El modo de uso es el siguiente: se entra en abscisas con la carga por soporte (Post load) en kN, se asciende verticalmente hasta intersectar con la tensión de flexotracción máxima del hormigón (Concrete Stress) en MPa; a continuación horizontalmente con el área de contacto en mm² × 10³ , después se traza una línea vertical hasta intersectar con la distancia mayor entre soportes y (larguero) en mm, y luego horizontalmente con la menor x en mm, para ascender verticalmente y en la parte superior obtener el espesor del pavimento en mm.

A título de ejemplo se expone el de 75 kN por soporte (Figura 2).

3.2. Modelización mediante elementos finitos tipo placa con coeficiente de balasto

Se ha modelizado y analizado únicamente la zona destacada en rojo en el epígrafe 2, donde el recuadro de solera queda delimitado por juntas de retracción y el modelo analizado se obtiene aplicando el principio de simetría.

Se ha utilizado el programa de cálculo por elementos finitos SAP2000 (27). La solera se ha discretizado en elementos finitos tipo SHELL de 4 nodos y 6 grados de libertad por nodo, con comportamiento de placa a flexión, apoyado sobre resortes que representan el coeficiente de balasto medio de las cinco situaciones de terreno citadas con anterioridad kmed. También se han repetido los cálculos para poder compararlo con el modelo del TR34-2.^a edición, es decir, utilizando un coeficiente de balasto de k = 55 MN/m³.

El cálculo, para cada carga y tipo de suelo, se ha realizado mediante iteraciones sucesivas, no como un trabajo de optimización pero sí como un trabajo de aproximación. Es decir, se han ido modificando los espesores del pavimento para que no se vean superadas las tensiones máximas de flexotracción del hormigón. Se han realizado los cálculos para los seis valores de carga citados.

En la Figura 3 se aprecia el modelo de cálculo.

3.3. Modelización mediante elementos finitos elásticos tridimensionales

El método elástico consiste en modelizar el terreno con elementos finitos sólidos tridimensionales.

El modelo se ha realizado con SAP2000 utilizando elementos tipo SOLID, hexaédrico, con 8 nodos y 3 grados de libertad por nodo para la base granular y la explanada, y sobre la superficie, la solera se discretiza utilizando elementos tipo SHELL como antes. Para el elemento SOLID es suficiente establecer un comportamiento de modos compatibles (27).

En el apartado de materiales del programa se introducen las características elásticas (E, µ, G) de cada capa (27).

Se ha utilizado un modelo con 2.808 elementos sólidos y 351 elementos planos, con 10.247 grados de libertad. Teniendo en cuenta las consideraciones del epígrafe 2.1., las condiciones de contorno, por el principio de aislamiento, son: que la base granular y la explanada se encuentran apoyadas horizontalmente en todos sus nodos laterales, permitiéndose el desplazamiento vertical; en la base del modelo los nudos están apoyados verticalmente, y en el eje del pasillo se ha impedido el giro según un eje paralelo al largo (regla de la mano derecha), para simular el momento flector negativo que se obtendría simétricamente en esta zona.

En la Figura 4 derecha se expone un renderizado.

El espesor de zahorra natural se mantiene constante (0,4 m), y se van variando las propiedades de las cinco explanadas. Para cada combinación se han utilizado los seis tipos de carga ya referenciados.

Se establece un sistema híbrido, definiendo de forma independiente la solera (SHELL) y el terreno (SOLID), aunque los nudos de la solera ocupen idénticas posiciones que en la capa superior de los elementos SOLID. En la interfase se relacionan los grados de libertad de ambos tipos de elementos (CONSTRAINTS).

Para cada caso concreto se estudian todas las tensiones en la solera (SHELL) y las tensiones máximas de compresión sobre el terreno (SOLID).

En cuanto a la profundidad del conjunto de elementos finitos, se determinó mediante análisis de sensibilidad, escogiendo un tamaño operativo y funcional de cálculo, y para el cual las tensiones máximas de flexotracción en la solera no variaban y las tensiones en los elementos finitos tipo SOLID apoyados en la base, eran las mismas, para dicha profundidad que para profundidades mayores.

Por otra parte, si bien es cierto que cuanto más pequeño el elemento finito se obtiene más precisión, tiene inconvenientes en cuanto a la operatividad de cálculo (tiempos, regeneración de imágenes, almacenamiento, etc.). Finalmente se llegó a una solución de compromiso entre la finura del mallado y la operatividad, con la posibilidad de realizar los estudios paramétricos con suficiente número de datos.

En análisis previos se consideraron diferentes tamaños de malla (de 20 cm × 20 cm, tamaño de las bases de anclaje, se pasó a 5 cm × 5 cm) y se compararon los resultados. Las variaciones de las tensiones máximas de flexotracción Smax de la solera variaron menos del 2,3 % ante el modelo adoptado con un mayor número de elementos finitos.

Las tensiones que se transmiten son perfectamente asimiladas por la base de zahorra artificial compactada dada su tensión admisible (del orden de 0,2 MPa para las situaciones más desfavorables).

El bulbo de presiones que se origina en el terreno (debido al solape) es continuo, es decir, es como si fuera el de un único soporte. Se comprobó que las tensiones son resistidas por las distintas capas.

4.1. Resultados para procedimiento del método con elementos finitos con coeficiente de balasto

El programa de cálculo permite la obtención gráfica y numérica de los resultados, para todo tipo de tensiones, aunque las que se han utilizado para el dimensionado han sido Smax (tensiones máximas en las direcciones principales).

En la Tabla 3 se muestran las tensiones máximas obtenidas (Smax) y los espesores de solera necesarios en el caso correspondiente a la explanada 4 (kmed = 119 MN/m³ y E = 300 MPa) para diferentes valores de carga aplicados.

Para cada caso de terreno la operatividad ha sido la misma.

4.2. Análisis comparativo entre el método gráfico del TR34 y mediante el MEF sobre coeficiente de balasto

Se ha repetido la casuística con SAP2000 utilizando un coeficiente de balasto k = 55MN/m³. De donde comparativamente se obtiene la Figura 4.

Se observa que el método de los elementos finitos empleado resulta menos conservador, excepto para cargas por soporte bajas. No obstante, se aprecia una gran similitud en los resultados.

4.3. Resultados con procedimiento tridimensional (3D elástico)

Al igual que antes se realiza un trabajo de variación del espesor de solera por aproximaciones iterativas con respecto a las tensiones máximas de flexotracción (EHE-08). Especialmente se ha prestado atención a las tensiones principales máximas positivas (tracción) y máximas negativas (compresión). A título de ejemplo se ofrecen los resultados tabulados correspondientes a la explanada 4 con E = 300 MPa y diferentes valores de carga (Tabla 4).

Se observa que en la mayoría de los casos las tensiones de flexotración máximas se producen debido a un momento convexo entre soportes en la dirección mayor o de los largueros entre soportes.

Se ha representado el conjunto de las gráficas en función de carga y espesor (Figura 5).

Se observa como a medida que el módulo de elasticidad de la explanada es mayor el espesor de la solera es menor. También se observa que existe bastante coincidencia a partir de explanadas con E = 200 MPa. Mientras que para suelos blandos (E = 50 y E = 100 MPa) se observa mayor separación.

El estudio de asientos para el caso más desfavorable, carga de 120 kN y explanada de E = 50 MPa, conduce asientos máximos de 4 mm, que también se consideran de poca relevancia.

Como es sabido, para suelos blandos las hipótesis para el estudio de asientos y de tensiones se aleja bastante de la realidad, siendo necesarios métodos edométricos o triaxiales (28), (29).

También se ha representado (Figura 6) la variación del espesor para distintos valores de la explanada y valores de carga. Se observa la misma tendencia de una mayor divergencia para suelos blandos. La figura en sí, cuando las dimensiones X e Y de las estanterías sean similares o no haya grandes diferencias, permite de forma rápida hacer un predimensionado e incluso mediante interpolación.

4.4. Análisis comparativo entre el método con elementos finitos y coeficiente de balasto y el tridimensional elástico

Se ha realizado un estudio comparativo entre los resultados obtenidos con el método de elementos finitos con el coeficiente de balasto kmed y el lineal tridimensional elástico, para el conjunto de las cargas y para cada tipo de explanada. Los resultados se muestran gráficamente (Figura 7), donde k representa el método del coeficiente de balasto y 3D el tridimensional elástico.

Como se observa en las figuras existe cierta similitud entre los métodos. El 3D elástico tiene pendientes más acusadas que el de kmed, especialmente para suelos blandos para los cuales existe una mayor divergencia. Otra observación es que para cargas por soporte altas el método kmed da espesores mayores y con el método elástico del MEF en 3D es posible afinar mejor el espesor de la solera. En general, cuando las explanadas son más duras, existe una gran convergencia.