Este artículo describe una nueva metodología para resolver un problema típico del diseño de estructuras antifuniculares: cómo obtener una configuración de equilibrio partiendo de condicionantes geométricos iniciales.
En los años 70 se introdujo el Método de Densidad de Fuerzas –MDF– para la búsqueda de la configuración de equilibrio, método que hoy en día sigue utilizándose con éxito tanto en estructuras tensadas como en estructuras antifuniculares. Sin embargo, en las segundas, el problema de equilibrio se vuelve no-lineal y debe resolverse de una manera iterativa, mediante pruebas sucesivas.
A través del que hemos denominado
This paper describes a new methodology for solving a typical problem in the design of antifunicular structures: how a equilibrium configuration can be obtained with initial geometrical constraints.
In the seventies the Force Density Method -FDM- was introduced for the research of an equilibrium position. This method is nowadays being used successfully for both tension structures and antifunicular structures. However, in the second ones, the problem of balance turns non-lineal and must be solved in an iterative manner through successive tests
By means of the so-called Catenary Aproximation Method -CAM, conceived as an assistance tool in the application of the FDM to antifuniculars structures, it is possible to obtain in a simple way a equilibrium configuration with some geometric characteristics previously established.
A diferencia de las obras de ingeniería y arquitectura tradicionales, en las estructuras a compresión o antifuniculares
El Método de Densidad de Fuerzas –MDF–
Es posible representar la estructura como una malla de nodos conectados entre sí a través de un número determinado de ramas dispuestas a criterio del calculista. Esta estructura de nodos-conexiones podrá adoptar múltiples formas en función del valor que adquieran los
El método permite la imposición de unas condiciones de contorno en una serie de nodos (nodos fijos) mientras que el resto (nodos libres) serán incógnitas del sistema de ecuaciones.
Las conexiones entre los distintos nodos se representan a través de la
Las fuerzas externas se introducen como fuerzas puntuales aplicadas en cada nodo y se representan a través de los
Uno de los mayores inconvenientes del método consiste en la necesidad de transformar a fuerzas nodales todas las fuerzas superficiales o de volumen que afectan a la estructura.
Estas se definen como la relación entre la fuerza de tracción o compresión «s» y la longitud «l» de cada conexión o rama.
Es decir, para cada rama
Así es posible definir la
Finalmente, planteando el equilibrio de fuerzas en los nodos, se obtienen las ecuaciones del Método de Densidad de Fuerzas:
Para que la ecuación
El mayor inconveniente de este método consiste en que uno de sus
La generación de la estructura de nodos-conexiones puede realizarse de forma automática utilizando técnicas de automallado como el Mallado Topológico –MT–
Llegado a este punto es importante advertir que para cada hipótesis de carga, con la aplicación de MDF-MT, se obtendría una forma de equilibrio diferente. Por eso se suelen considerar únicamente las cargas permanentes, distinguiendo así dos etapas en el cálculo: una primera fase de diseño o búsqueda de la configuración de equilibrio a través del MDF-MT y una fase posterior de análisis estructural, donde son tenidas en consideración todas las hipótesis de carga.
En las estructuras tensadas, debido a la ligereza de los materiales empleados, el peso propio tiene una influencia muy reducida en el resultado. Por este motivo se suele prescindir de su valor y de esta forma la utilización del MDF-MT resulta muy sencilla.
En cambio, en las estructuras antifuniculares la consideración del peso propio resulta indispensable. Al tratarse de una fuerza superficial, su valor depende de la geometría de la estructura. De esta forma, el sistema de ecuaciones que plantea el MDF pierde su linealidad, por lo que para ciertos valores de las densidades de fuerza no existirá una solución.
Analizando el problema bi-nodal se puede comprender de manera sencilla por qué no es siempre posible obtener una solución. Se tiene una estructura compuesta por una única barra vertical con un extremo fijo, sometida a una fuerza constante
El problema siempre tendría solución para cualquier valor de densidad de fuerza q adoptado.
En cambio, si se tiene en consideración el peso propio de la barra y su peso específico γ fuese conocido, el equilibrio de fuerzas quedaría representado a través de la expresión
De esta forma el problema no alcanzaría solución para valores
En definitiva, la aplicación del método adaptado a las estructuras antifuniculares, considerando el peso propio (MDF-MT-PP)
El concepto de Densidad de Fuerza, adquiere así un papel fundamental en la forma de equilibrio obtenida. Partiendo de unas condiciones de contorno definidas y conocidas por el proyectista, este parámetro se convierte en la única variable del sistema para modificar la forma geométrica. El resto de variables o bien resultan conocidas, como las coordenadas de los puntos de apoyo o el peso específico del material, o bien tienen una menor influencia en la forma de equilibrio obtenida, como la densidad de nodos empleada o la tipología de malla escogida. Para cada matriz de densidades de fuerza podrá existir una solución al problema y, en el caso de que esta exista, la forma de equilibrio alcanzada diferirá considerablemente de otra obtenida con una matriz de densidades de fuerza diferente. Ello obliga de nuevo a realizar un cálculo iterativo en el que una vez obtenida la primera solución o forma de equilibrio, es necesario modificar el valor de las densidades de fuerza empleadas hasta conseguir la geometría deseada. Este proceso no es sencillo, ya que no resulta fácil relacionar el valor de las densidades de fuerza con la forma geométrica que se persigue. Para el diseñador se convierte en un procedimiento largo y complejo al tener que modificar multitud de valores hasta obtener una forma de equilibrio que se aproxime al modelo inicial diseñado.
En este artículo se propone un método para obtener las densidades de fuerza en las estructuras clásicas de compresión, bóvedas y cúpulas, a partir de parámetros geométricos del diseño original. Previamente se ayudará a adquirir una mejor comprensión práctica de estos parámetros y su relación con la forma de equilibrio alcanzada.
Para comprender el significado práctico de la densidad de fuerza y su relación con la geometría alcanzada, resulta útil establecer un símil entre dicho parámetro y la constante elástica de un muelle (
Al aumentar la densidad de fuerza de una barra en una estructura en equilibrio, se conseguirá acortar la longitud de dicha barra, pero al mismo tiempo se modificará la posición del resto de nodos de la estructura y cambiará sustancialmente la forma de equilibrio.
Una técnica para obtener estructuras simétricas con la forma deseada consiste en agrupar estas densidades de fuerza según pertenezcan a un anillo o a una conexión radial o de unión
En las estructuras antifuniculares abiertas, tipo bóveda, el paralelismo de los anillos se consigue utilizando las mismas densidades de fuerza en todas las ramas radiales y adoptando un valor cercano a cero para minimizar las tensiones en las mismas. Por otra parte, alterando las densidades de fuerza de las ramas que componen los anillos se puede modificar la altura de la bóveda (
Intuitivamente estos cambios pueden predecirse mediante el símil de bolas-muelles. No obstante, en este caso hay que tener presente que las modificaciones en la geometría no son proporcionales a las variaciones de estos parámetros. Además pueden observarse otras pequeñas diferencias, más difíciles de comprender, que están relacionadas con la morfología del mallado utilizado.
Análogamente para las mallas cerradas, tipo cúpula, las ramas radiales son las que modifican la altura de la bóveda mientras que las ramas anilladas controlan la forma más o menos abierta de la cúpula sin afectar en gran medida su altura (
Si se analizan diferentes estructuras de compresión tridimensionales, se pueden distinguir formas antifuniculares como partes integrantes de todas ellas. Incluso en muchos casos es posible generar las figuras espaciales con la simple traslación o giro de estas formas poligonales (
El Método de Aproximación Catenaria –MAC– permite obtener las densidades de fuerza de estas formas antifuniculares mediante su aproximación a una curva catenaria de igual altura o longitud (
La ventaja de esta aproximación radica en que la ecuación matemática de la curva catenaria es conocida y puede obtenerse directamente a partir de valores geométricos como la flecha en su punto medio. Estas ecuaciones, obtenidas en base al equilibrio de fuerzas horizontales y verticales, son las siguientes:
siendo:
λ peso específico
La parte esencial del método consiste en calcular lo que se denomina densidad de fuerza equivalente de la catenaria «
Si se divide la proyección horizontal de la catenaria en N partes iguales (
Por otra parte, el valor de
El valor
El método se estructura en los siguientes pasos:
Es el paso 1 del método y consiste en obtener una primera forma de equilibrio a partir de unos parámetros iniciales compatibles con una primera configuración de equilibrio. Se analizará el diseño y se adoptarán todos los parámetros necesarios para establecer una primera forma de equilibrio. Para ello será necesario:
Determinar las coordenadas de los nodos fijos.
Establecer un mallado topológico apropiado.
Analizar los materiales utilizados determinando su peso específico.
Aplicar el MDF-MT-PP con unas densidades de fuerza iniciales compatibles con una configuración de equilibrio. Es decir, se adoptarán densidades de fuerza tales que el problema tenga solución aunque la forma de equilibrio difiera notablemente del diseño inicial.
En este paso se identificarán las formas funiculares contenidas en la configuración de equilibrio para calcular los parámetros de las catenarias que la aproximan y que se denominarán catenarias iniciales. En algunos casos (cúpula de base circular) bastará con aproximar una única sección funicular, mientras que en otros (cúpula de base poligonal o bóvedas de altura variable) será necesario aproximar varias secciones (
De cada forma funicular inicial se tomaran los siguientes valores que se utilizarán para definir su correspondiente catenaria inicial:
Altura de la forma funicular inicial
Distancia entre los apoyos
Número de nodos
Densidad de fuerza de la primera rama
A través de la ecuación
Por otra parte adoptando
Es ahora cuando se obtiene la densidad de fuerza equivalente
Se adoptarán los siguientes parámetros ya conocidos:
Altura de la catenaria final o altura de diseño
Distancia entre los apoyos
Número de nodos
Peso unitario de la catenaria inicial obtenido en el paso anterior λ.
A través de la ecuación
Utilizando este valor y empleando de nuevo las ecuaciones
El último paso del MAC consiste en calcular una nueva forma de equilibrio utilizando de nuevo el MDF-MT-PP pero empleando ahora la densidad de fuerza equivalente obtenida.
En el caso de que la forma funicular inicial tuviese la misma densidad de fuerza en todas sus ramas se adoptaría la densidad de fuerza equivalente en todas estas conexiones para obtener la nueva forma de equilibrio. En cambio si estas densidades de fuerza no coinciden, para mejorar la convergencia del método, se podrán aplicar valores ponderados de acuerdo con el esquema de la
A través del MAC generalmente se consiguen buenas aproximaciones, si bien pueden darse diferencias considerables para valores de densidad de fuerza muy alejados al de la calibración realizada. El éxito de la aproximación también depende de la influencia del resto de densidades de fuerza no alteradas por el método, es decir, del efecto de las conexiones que no están incluidas en la forma funicular a la que se aplica el MAC y que mantienen su densidad de fuerza inicial. En estos casos, se puede aplicar nuevamente el método hasta obtener resultados óptimos. La ventaja del procedimiento iterativo del MAC frente al procedimiento de tanteo tradicional, radica en que se converge rápidamente hacia la solución buscada y además es posible su programación en un mismo algoritmo informático junto con el MDF-MT-PP
La aplicación del MAC a cúpulas de base circular resulta muy sencilla, obteniéndose muy buenas aproximaciones. En este caso se emplea el método en una única forma funicular (véase la cúpula de la
La
Resulta también muy interesante la aplicación del MAC a cúpulas de base poligonal. Se tiene como ejemplo una cúpula de base cuadrada de 10 metros de lado, representada en la
Las formas funiculares inscritas en los arcos torales están formadas por las conexiones del anillo 5 por lo que todas sus ramas tendrán una densidad de fuerza inicial de valor
Por otra parte, para modificar la altura de la cúpula habría que aplicar el MAC considerando formas funiculares compuestas por conexiones radiales, como en el caso de las cúpulas de base circular. En el ejemplo representado en la
Con las bóvedas se procede de forma similar, aunque, como se ha comentado el el apartado II, las densidades de fuerza obtenidas se aplicarán únicamente a las ramas anulares. Las densidades de fuerza de las conexiones radiales deben de introducirse con valores próximos a cero, a menos que no se desee mantener el paralelismo de los arcos.
La
Cuando se tiene una estructura más irregular que las mostradas hasta ahora (con arcos pronunciados, contrabóvedas, densidades de fuerza desiguales, etc.) es posible conseguir ciertas dimensiones determinadas a priori (altura máxima y apertura general por ejemplo) controlando la geometría de un conjunto de arcos denominados de control. En estos casos la aplicación del MAC resulta fundamental, ya que es el que permite la obtención de esos parámetros geométricos objetivo en los arcos de control escogidos cuidadosamente dentro de la malla.
En la
La aplicación del MDF en el diseño de estructuras antifuniculares permite obtener configuraciones de equilibrio a través de la resolución de un sistema de ecuaciones no lineal. El concepto de densidad de fuerza adquiere un papel fundamental permitiendo modificar la forma de equilibrio hasta conseguir la geometría deseada. Sin embargo, no resulta sencillo relacionar el valor de las densidades de fuerzas con la forma geométrica para satisfacer los condicionantes geométricos del diseño. El problema se resuelve de forma iterativa, mediante variaciones de densidades de fuerza sucesivas con un cierto grado de discrecionalidad, lo que lleva a un procedimiento lento y complejo.
En este artículo se expone un método innovador que facilita la obtención directa de una configuración de equilibrio que cumpla unos condicionantes de diseño preestablecidos. Se enumeran a continuación las ventajas más significativas del método:
Es un procedimiento de formulación sencilla, lo que conlleva un bajo coste computacional.
Se elimina la discrecionalidad del procedimiento permitiendo su implementación en el mismo programa informático que desarrolle el MDF-MT-PP para estructuras a compresión.
Aunque se trata de un método aproximado, admite una aplicación iterativa y cada ciclo mejora el resultado anterior. Esto permite con pocas iteraciones obtener la configuración de equilibrio deseada, cumpliendo los condicionantes de diseño.
Finalmente el método propuesto ha sido testado en diferentes proyectos, obteniendo resultados muy satisfactorios en cada uno de ellos. Se trata de una herramienta que puede resultar muy atractiva en el diseño de estructuras a compresión y en algunas tensoestructuras tales como las cubiertas colgantes pesadas