El método de elementos finitos permite obtener una solución numérica aproximada sobre un medio continuo en el que están definidas las ecuaciones del movimiento que caracterizan el comportamiento físico del problema, mediante una formulación variacional o débil para las ecuaciones del movimiento y la construcción de una solución aproximada basada en coordenadas nodales y funciones de forma de elementos (22). En el caso de los métodos de elementos finitos explícitos se emplea un algoritmo de integración explícita en el tiempo, siendo el método de diferencias centrales el utilizado en LS-DYNA.

Este procedimiento logra el desacoplamiento de las ecuaciones globales del movimiento de forma que éstas se plantean y resuelven de forma local, elemento por elemento. El método es válido cuando el intervalo de integración Δt es tan corto que nodos contiguos de la malla no tienen tiempo de comunicarse entre sí durante ese mismo intervalo. Esta limitación se concreta en la condición de Courant Δt ≤ Δt _crit que debe mantenerse para una integración estable, siendo Δt _crit el tiempo que tarda la onda de tensión más rápida en recorrer el espacio que separa los nodos. En el caso de que no se cumpla la condición de Courant el método se hace automáticamente inestable, produciendo energía no física en el cálculo.

El tamaño del elemento es clave, puesto que cuanto más fina es la malla el Δt es menor, aumentando el coste computacional no sólo por el número de grados de libertad del modelo, sino también por el número de pasos de tiempo.

En los métodos explícitos todas las operaciones se realizan elemento por elemento a nivel local y no se necesita ensamblar ninguna matriz de coeficientes global, ni resolver sistemas de ecuaciones simultáneas. Como consecuencia, la necesidad de memoria crece de manera lineal con el tamaño del problema, en lugar de cuadrática como en los métodos implícitos, lo que posibilita la solución eficaz de grandes problemas tridimensionales.

Por todo ello la elección del método se ajusta al problema, ya que en casos de dinámica rápida en grandes simulaciones 3D los modelos explícitos son más eficientes computacionalmente y más robustos para cálculo no lineal.

El hormigón es un material que en las condiciones extremas que nos ocupan, en las que se alcanza la resistencia última, tiene un comportamiento complejo, no lineal. Presenta una resistencia mucho menor a tracción que a compresión, fisuración en tracción, contribución del hormigón entre fisuras (tension stiffening), plastificación en compresión, aumento de características resistentes cuando está sometido a altas velocidades de deformación, así como límites de rotura diferentes dependiendo de la forma de fallo (tracción, compresión, cortante). Otros fenómenos como la retracción y la fatiga no intervienen en este caso.

El modelo de material usado para los elementos de continuo 3D es el CONCRETE_CSCM implementado en LS-DYNA. Este material, que sólo esta disponible para elementos de continuo y no para elementos viga o lámina, tiene las siguientes características (Figura 1a):

El modelo se puede definir a partir de 4 parámetros: densidad (ρ), límite elástico en compresión no confinada (f′c), tamaño máximo de árido (D_agg) y una condición de erosión (ξ_erode), siendo generados el resto de parámetros de forma automática por el propio código para un hormigón estructural estándar. No obstante si se desea una definición detallada se dispone de un total de 37 parámetros posibles, cuyas descripciones y rangos vienen recogidos en el manual de LS-DYNA para el material hormigón 159 (21) por lo que no se explicitan aquí.

El modelo de material usado para los elementos estructurales es el modelo de LS-DYNA CONCRETE_EC2 (23), que puede ser usado en el modelado de elementos viga y lámina pero no en elementos de continuo 3D, a diferencia del CSCM. La Figura 1b muestra el diagrama tensión-deformación de un hormigón de 30 MPa modelado con este material y lo compara con el material CSCM. Este material tiene gran parte de las propiedades exigidas anteriormente: diferente comportamiento a tracción y a compresión, con ablandamiendo en compresión, con daño debido a fisuración en tracción y con la capacidad de erosionar para una deformación dada gracias a una formulación adicional. Además incluye una formulación homogeneizada que permite considerar cuantías de acero en cada elemento. Esta última opción se emplea sólo para considerar el armado transversal, ya que el armado longitudinal se modela de forma segregada.

El acero es un material no lineal con plastificación y rotura tanto a tracción como a compresión y adicionalmente, al igual que en el hormigón, el efecto de aumento del límite elástico con la velocidad de deformación. Para modelar el acero de armado se usan elementos viga o barra con modelo de material PIECEWISE_LINEAR_PLASTICITY (23) implementado en LS-DYNA, que incluye deformación plástica al llegar al límite elástico, aumento de la tensión de plastificación con la velocidad de deformación y rotura.

El hormigón armado se puede simular mediante un modelo homogeneizado, usando un sólo modelo de material que incluye la contribución del armado, o con modelo segregado, empleando dos modelos de material, uno para hormigón y otro para acero, en dos mallas superpuestas. Éste último es el utilizado en este trabajo dado que el homogeneizado, aunque es más sencillo, presenta serias limitaciones en la evaluación detallada de fenómenos de grandes deformaciones, plastificación y rotura de elementos estructurales. Para el modelado segregado de hormigón y acero existen dos opciones: la primera es hacer coincidir los nodos de las mallas de hormigón y acero, de forma que al compartir nodos comunes los materiales se deforman solidariamente y por tanto suman su respuesta frente a solicitaciones; la segunda es usar la formulación CONSTRAINED_LAGRANGE_IN_SOLID de LS-DYNA (19) (23) que permite situar los elementos viga de acero en cualquier parte de la malla de elementos de continuo de hormigón. Esta formulación permite imponer la compatibilidad de deformaciones entre elementos viga embebidos en los sólidos sin necesitar que los nodos de las vigas sean comunes con los de los elementos sólidos, con una disposición geométrica cualquiera dentro del elemento. Sin embargo esta opción técnica no se puede utilizar en modelos estructurales que utilizan láminas para el hormigón. En este caso deben coincidir los nodos de las dos mallas, aunque se permite introducir una excentricidad de los nodos de las vigas que produce su colaboración plena a flexión. Se realiza mediante el comando BEAM_OFFSET (23) que permite considerar la excentricidad de las armaduras respecto al plano en el que son definidas (24).

La Figura 2 muestra un ejemplo de validación para la formulación de materiales segregados. Tiene unas dimensiones de 1 × 1 ×3 m con tres elementos de hormigón y embebidas en esa malla tres barras de acero de sección 0,005 m², con materiales hormigón CSCM de 30 MPa y acero de 240 MPa. Se trata de un modelo dinámico y explícito en el que la probeta definida es sometida a tracción mediante una fuerza impuesta aplicada en un extremo de forma lineal. Al alcanzarse la rotura del hormigón a tracción esta fuerza pasa a ser soportada totalmente por el acero con unas oscilaciones intermedias debido a la discontinuidad. En la figura se muestra la fuerza conjunta de hormigón y acero y las fuerzas transmitidas por cada uno de los materiales.

El fenómeno físico se origina en un material explosivo que varía su estado químico produciendo un elevado incremento de volumen, con la consiguiente variación en la presión. Ésta variación se propaga como una onda de elevada presión en un tiempo muy corto por el medio circundante, que incide sobre la estructura y a su vez produce una onda reflejada que se compone con la anterior. Esta onda de presión reflejada tiene la misma forma que la de la presión incidente pero el pico de presión es mayor, pudiendo alcanzar, dependiendo de la inclinación con que llega al obstáculo y de la potencia de la explosión, hasta doce veces el valor correspondiente a la onda incidente (25).

Existen dos métodos fundamentales para transferir las presiones generadas en la explosión a la estructura: 1) Aplicación de las presiones mediante el empleo de funciones temporales de la presión suministradas por fórmulas empíricas –metodología CONWEP (26)–; 2) Aplicación de las presiones mediante el uso de modelos acoplados y muy detallados de dinámica de fluidos (CFD).

El primer método, que tiene un coste computacional reducido, es adecuado para el estudio de modelos de geometrías sencillas. Calcula todos los efectos geométricos de la llegada de la onda a distintas zonas de la estructura y su reflexión, pero no tiene en cuenta los efectos de las ondas reflejadas sobre otros paramentos ni considera la transmisión de la onda explosiva por las aberturas producidas. Sin embargo la consideración de las ondas reflejadas en un caso de edificio abierto es poco importante. El segundo método tiene un coste computacional elevado, tiene en cuenta los fenómenos de reflexión, la parte de la onda que se transmite entre forjados y es necesario para el análisis de geometrías complejas, pero no es adecuado para el estudio de grandes modelos porque necesitaría recursos de cálculo prohibitivos.

Por ello en este trabajo, con una clara orientación práctica, se ha usado el primer método. Se utiliza el comando LOAD_BLAST_ENHANCED (23) de LS-DYNA que es una mejora de la implementación de Ranhders-Pehrson y Bannister (27) en DYNA3D. Dicha implementación usa las ideas y datos del trabajo de Kingery y Bulmash (28). Proporciona unos valores de presiones coincidentes con el código CONWEP (Conventional Weapons Effects), de acuerdo a los resultados experimentales recogidos en el TM-5-855-1 (25).

La masa de hormigón se representa mediante una malla de elementos finitos de continuo hexaédricos y el armado se modela mediante elementos tipo viga, con la disposición, longitud y diámetro reales. Ambas mallas se unen mediante CONSTRAINED_LAGRANGE_IN_SOLID. Los modelos de material empleados son los reseñados en los apartados anteriores, modelo de material CSCM para el hormigón y modelo de material linear piecewise plasticity para el acero.

Se realiza la comprobación de un modelo de elementos de continuo con un ensayo de explosión sobre losas de hormigón analizado en el artículo de Silva y Lu (11). En estos ensayos se disponen varias losas de hormigón armado y se las somete a distintas cuantías de explosivo a diferentes distancias (Tabla 1). Hay dos tipos de losas a ensayar, ambas apoyadas sobre dos vigas de acero con dimensiones 120 × 120 × 9 cm armadas en una sola cara con diferentes cuantías: la serie (I) con 0,50 % de cuantía y la serie (II) con 0,18 % de cuantía. Los materiales empleados son hormigón de 27,6 MPa y acero de 414 MPa, con módulo elástico de 200 GPa y tensión de rotura de 621 MPa.

En el modelado se emplea una malla de elementos finitos de 40 × 40 × 3 elementos de continuo con material CSCM_CONCRETE (características: ρ = 2320 kg/m³, f′c = 27,6 MPa, D_agg = 19 mm, ξ_erode = 1,05 y una malla de elementos viga de material elastoplástico (características: ρ = 7850 kg/m³, E = 200 GPa, ν = 0,3, σ_ν = 414 MPa, deformación de rotura ε_u = 14 %) que simulan la armadura.

El armado forma una malla de 1,08 × 1,08 m. En los casos (I) consta de siete barras en cada una de las dos direcciones del plano de la losa, dos en cada extremo y las otras cinco equidistantes. En los casos (II) consta de tres barras equidistantes, también en ambas direcciones. En todos los casos se simulan mediante elementos viga de 8 cm de longitud.

Calculando estos modelos con la metodología explicada se obtiene una buena correlación entre los daños del ensayo y los calculados por elementos finitos (Figura 3). En los ensayos se observan: para las losas I-a y II-b fisuras menores de un milímetro; en la losas I-c y II-c fisuras mayores de 3 milímetros y desplazamientos residuales de 22 mm y 16 mm. Estos resultados son consitentes con los modelos, en los que se muestra el mapa de deformación plástica y zonas erosionadas, y en los que se obtienen desplazamientos residuales de 24 mm para el caso I-c y de 13 mm para el caso II-c.

Se analiza una columna simplemente apoyada de hormigón de 40 MPa con doce barras corrugadas longitudinales de 20 mm de diámetro con cercos transversales de 8 mm de diámetro cada 30 cm de acero B500S. Las dimensiones de la columna son de 3 m de longitud y 45 × 45 cm de sección.

El mallado para la columna consta de 6 × 6 × 40 elementos sólidos 3D de hormigón modelados mediante material CSCM (características: ρ = 2320 kg/m³, f′c = 40 MPa, D_agg = 19 mm, ξ_erode = 1,05), con 16 barras modeladas mediante material piecewise linear pasticity (características: ρ = 7850 kg/m³, E = 210 GPa, ν = 0,3, σ_ν = 500 MPa, ε_u = 14 %) de diámetro 20 mm con 20 elementos cada barra representando el armado longitudinal, y 11 cercos de armado también modelados mediante material piecewise linear pasticity de diámetro 8 mm con 16 elementos cada cerco, cuatro por cada cara de la columna.

La losa reticulada (ver Figura 5) se construye mediante un forjado de casetones recuperables que crean huecos en la parte inferior de la misma. La armadura en este caso es compleja, con armado en los nervios, mallazo en la parte superior, etc. El modelo presentado usa hormigón de 30 MPa y acero B500S. Las dimensiones son de 8 × 8 m de losa entre columnas con un canto total de 38 cm.

El canto se divide en 30 cm de nervio más 8 cm de capa de compresión, excepto en los ábacos de las columnas en los que el canto es constante de 38 cm de hormigón. La sección se divide en casetones de 80 × 80 cm. Los nervios tienen un ancho de 12 cm, quedando así un hueco de 68 × 68 cm en cada casetón de 30 cm de profundidad. Los ábacos tienen 3,2 × 3,2 m de dimensión sobre una columna, de forma que, en un módulo, su planta es de 1,6 × 1,6 m. El armado, con recubrimiento de 2,5 cm, consta de:

El comportamiento de estos modelos se discute en el apartado siguiente, comparando sus resultados con los modelos de elementos estructurales.

En el modelo de elementos estructurales para la columna se usan elementos lámina cruzados en el eje de la viga con material de hormigón EC2 y vigas excéntricas para el armado longitudinal que se unen a los nodos en el cruce de las láminas, de forma que quedan unidas las doce barras al eje de la columna considerando su excentricidad. Las dimensiones de las láminas se ajustan para obtener una misma masa y una misma inercia seccional que en la columna real. Se emplean láminas para el hormigón en vez de vigas por que en LS-DYNA las láminas son capaces de recoger la presión de la onda explosiva, mientras que las vigas no. No es posible incluir el armado transversal de forma segregada, por lo que se tiene en cuenta como una cuantía de armadura en el modelo de hormigón EC2. En la Figura 4 se muestra las mallas y la validación.

Para la losa se usa el material EC2 para el hormigón y acero elastoplástico para las armaduras, con las mallas dispuestas de modo que la malla del hormigón y la malla del acero tengan nodos coincidentes. En las armaduras se emplea la opción OFFSET de LS-DYNA para tener en cuenta la excentricidad de las mismas con respecto al plano de la losa.

Entre los modelos de elementos de continuo y de elementos estructurales tanto para columna como para losa se realizan dos comprobaciones: en primer lugar una comparación cuasiestática, y en segundo lugar una comparación dinámica frente a acción explosiva.

En el caso de la columna se utiliza el modelo definido en el apartado 3.3. El modelo de elementos estructurales viga y lámina usa una configuración de dos láminas en cruz con material EC2 para hormigón y vigas para representar las armaduras. Para obtener la misma masa e inercia seccional que en la columna real se toman 30,7 cm de espesor con 45 cm de ancho de lámina y ρ = 685 kg/m³. La malla es de 20 × 4 elementos lámina y 10 elementos viga por cada una de las barras de armado. Los materiales son hormigón EC2 (características: ρ = 685 kg/m³, f′c = 40 MPa, f′t = 4 MPa) y acero mediante material piecewise linear pasticity (características: ρ = 7850 kg/m³, E = 210 GPa, ν = 0,3, σ_ν = 500 MPa, ε_u = 14 %).

La Figura 4a muestra la comparación de la respuesta de la columna a un movimiento transversal lento impuesto en su centro, que produce una flexión cuasi-estática en ella. Las curvas de ambos modelos tienen una buena correlación en cuanto a la historia de desplazamiento y los puntos de plastificación. El modelo de elementos estructurales es un poco más rígido debido a que en el otro modelo los elementos van plastificando progresivamente, mientras que en éste, al haber menos elementos en la sección, plastifican para una carga mayor. La Figura 4b muestra la deformación producida en el centro de la columna por una explosión de 400 kg de TNT a una distancia de 4 m, aplicándose la acción explosiva en todas sus caras, observándose que también existe buena correlación.

Para la losa se usa un modelo de láminas EC2 para hormigón y vigas de armado excéntricas, con un mallado de 20 × 20 elementos lámina y armados equivalentes al modelo 3D cada dos elementos lámina. Los materiales son: hormigón EC2 (características: : ρ = 2300 kg/m³, f′c = 30 MPa, f′t = 3 MPa). Acero mediante material piecewise linear plasticity (características: ρ = 7850 kg/m³, E = 210 GPa, ν = 0,3, σ_ν = 500 MPa, ε_u = 14 %).

Este modelo consta de un número mucho menor de elementos que el modelo de continuo equivalente y con tamaños mayores de los mismos, lo que reduce considerablemente el coste computacional (Tabla 2). Las cuantías de armadura y su excentricidad son equivalentes en ambos, y como se muestra en la gráfica de la Figura 5 la respuesta a la flexión cuasi-estática, teniendo en cuenta la complejidad del modelo, es suficientemente aproximada en cuanto a desplazamiento y sucesivos procesos de plastificación.

La Figura 5 muestra también la comparación frente a una carga explosiva del modelo de elementos de continuo con el modelo de elementos estructurales cuando se somete a una carga centrada de 200 kg de TNT a dos metros de distancia bajo la losa. La acción explosiva aplica en todas las superficies de la cara inferior. En estos resultados el desplazamiento máximo, la tensión en las armaduras y las zonas erosionadas son similares. La conclusión es que el modelo de elementos lámina, que tiene un coste computacional mucho más bajo, es capaz de recoger en gran parte el comportamiento global de la losa completa.

Los resultados obtenidos permiten concluir que el modelado simplificado basado en elementos estructurales puede emplearse para evaluar edificios completos con estructura reticulada sometidos a acción explosiva.

Se presenta en primer lugar una estructura completa simple, consistente en un pórtico compuesto por 4 columnas fijadas al suelo y una losa reticulada. Las columnas y losa empleadas son las referidas en los apartados anteriores. El tiempo de simulación es 0,2 s y la carga es de 200 kg de TNT a dos metros bajo la losa y centrada en el modelo iniciando la explosión en t = 0,02 s. La unión entre la losa y la columna se realiza mediante la unión de nodos y la superposición de armaduras. La Figura 6a muestra la deformación y rotura del pórtico comparando los modelos de elementos de continuo y los modelos de elementos estructurales de láminas y vigas.

En las gráficas de la Figura 6a se muestra la comparación de historias de velocidades entre ambos modelos, en puntos característicos de la estructura, como son el centro de la losa y la parte superior de las columnas: a la izquierda velocidades del extremo superior de la columna en las que se aprecia que la velocidad al inicio es negativa, pues la columna se desplaza hacia fuera por el efecto directo de la onda explosiva, pero rápidamente se vuelve positiva, debido al efecto de arrastre de la losa; a la derecha velocidad en el centro de la losa mostrando aumento brusco inicial de la velocidad cuando la onda explosiva llega a la losa, descendiendo rápidamente cuando la progresiva plastificación del resto de la estrutura limita su desplazamiento. Se observa una discrepancia en la parte final de la velocidad en el centro de la losa. Ésta es debida a que en el modelo de elementos estructurales la velocidad se mide en un único punto (el nodo central de la armadura) y en el modelo de elementos de continuo se mide como media de dos puntos (nodo central del mallazo superior y nodo central de la armadura inferior), y en este último modelo hay rotura local del mallazo que produce velocidades mayores.

El tiempo de cálculo es de 2 horas 17 minutos para el modelo de elementos de continuo y de 17 segundos para el de elementos estructurales, para un tiempo de simulación de 0,2 segundos, con 4 procesadores Xeon-X565.

En segundo lugar (Figura 6b) se muestran los resultados que pueden obtenerse en el caso de un edificio de 3 plantas compuesto por 4 × 4 forjados reticulados en cada planta, modelado con elementos estructurales. Este modelo es capaz de estimar el daño causado en un edificio de estas características cuando se le somete a una carga explosiva en su interior. En este caso la carga es de 400 kg de TNT colocada en la primera planta del edificio a un metro de altura del suelo de la primera losa, que produce el daño observado en la figura. El tiempo de simulación está entre 0,1 y 0,5 segundos, suficiente para evaluar la acción de la explosión en la estructura. Con este tiempo de simulación y el modelo estructural simplificado el coste computacional es moderado (17 min con 12CPU Xeon-X565).

Las técnicas de modelado propuestas resultan adecuadas para la acción de explosiones fuertes en edificios completos, a pesar de lo cual existen algunas limitaciones a esta estrategia. Una de ellas es que no es posible evaluar directamente la presión que le llega por efecto de la explosión a una segunda losa cuando una primera ha roto y la onda de presión pasa a través de ella. La energía perdida por la onda explosiva en el proceso de rotura de la primera losa es difícil de estimar. Este fenómeno físico se puede evaluar mediante un modelo acoplado con interacción fluido-estructura (29) simulando la propagación de la onda explosiva en una malla de aire, pero sería necesario un número de elementos mucho mayor y de menor tamaño y una formulación más compleja, que conduce a un coste computacional excesivo. Otra de las limitaciones es que partes de la estructura pueden convertirse en proyectiles que impacten sobre partes posteriores del edificio. El parámetro de erosión empleado para simular el daño hace que se produzcan menos proyectiles en el modelo que en la realidad.

Este modelo puede ser usado también para estudiar el posible colapso progresivo, con el inconveniente de un mayor tiempo de cálculo, debido a que el tiempo de simulación tiene que aumentar, hasta valores de 3 a 10 segundos en este edificio de tres plantas, para poder evaluar los procesos de colapso y caída que se desarrollan en tiempo más largos que la explosión. Esto causa un incremento notorio en el tiempo de cálculo, pero éste es asumible.