La nueva catedral gótica de Tortosa sustituyó a la seo románica, la ecclesiam vetulam, que había sido consagrada en 1178, tras la reconquista de la ciudad en 1148. La tipología de la arquitectura gótica del siglo XIV, se adaptará a la nueva liturgia del Prochiron vulgo rationale divinorum officiorum (1291) de Guillermo de Durando (1230-1296), con un ábside con capillas radiales (Figura 1).

Tras el inicio de la obra gótica (1345), se produjo una paralización de la fábrica debida tanto a la peste (1347), como a la Guerra de los dos Pedros (1356-1369). La obra se reanudó con la construcción del cinturón de las nueve capillas radiales, situadas alrededor de la catedral románica. Las nueve capillas radiales, de planta cuadrada y con bóvedas de crucería, fueron construidas de forma correlativa, desde el evangelio a la epístola (1383-1424). La sección teórica de las claves de las bóvedas fue rematada a una altura de 45 palmos (1) (Figura 2).

El ábside empieza con la construcción de la capilla de San Pedro (1383) y finalizará con la de Santa Catalina (1424). En los extremos de estas capillas radiales se construyen sendas escaleras de caracol del tipo vis a pourtant noyau, caracol de husillo en español, o caragol de botó redó en lengua catalana. Ambas sirvieron de acceso y apoyo para la construcción del deambulatorio, el cual fue construido de forma simétrica sobre el presbiterio, siendo de gran utilidad para el apeo y servicio auxiliar de la construcción de la nueva fábrica gótica (2).

En el Dictionaire raissoné de l’architecture, Eugene Viollet-le-Duc (1814-1879) situaba el origen de l’escalieres à vis en la tradición constructiva romana. Las primeras escaleras de caracol francesas se construyeron sobre bóveda de piedra, como la del monasterio de Eu en Normandia (c. 1150) (3). Por su parte, August Choisy (1841-1909) explicaba en L’art de bâtir chez les bizantins otras tipologías de caracoles construidos sobre hojas de ladrillo (4).

En la construcción de escaleras hace falta un conocimiento aritmético para determinar el número total de escalones (n _i) y salvar la altura de paso de una persona (n _o). Aunque también es necesario el conocimiento geométrico para dividir la circunferencia en (n _o − 1) partes, en función del número de peldaños de la rosca (n _o). Por tanto, la construcción de escaleras de caracol, es uno de los mayores exponentes del conocimiento matemático de los magister operis.

El objetivo de la investigación es determinar la traza de las escaleras de caracol mediante el apoyo de escuadras. Éstas son utilizadas como plantillas de los escalones. Para el desarrollo de esta tesis se toma como referencia la metodología utilizada en el álbum de Villard de Honnecourt (ca. 1220-1250) (BnF. ms. fr. 190093, fol. 20 v), en la cual, con un movimiento de una plantilla, se construye la base de una torre pentagonal. Ésta hipótesis ha sido estudiada por R. Bechmann (5). Otra referencia será la tumba de Saint-Ouen (ca.1300), donde existe una ábaco que ha sido asimilado a la construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia, tema tratado por M. T. Sarrade (6). Otra alusión directa a estas metodologías es la de Diego López Arenas (+c. 1640) en la Primera y segunda parte de la carpintería hecho por Diego López de Arenas (1619), donde se define el cartabón como instrumento para la traza de polígonos regulares, hipótesis constatada por E. Nuere (7). Otra tesis para la construcción de estas escaleras sería la división angular, utilizada para la construcción de astrolabios en la tradición de algunas Practica Geometiae (1125-1130) como la de Hugo de San Víctor (ca. 1100-1141) (8), o la de Dominicus de Clavasio de (1346) (9).

Existen diferentes tipologías de escaleras en función del número de peldaños (n _o), ya sea en las trazas de la época gótica, o en los tratados tardogóticos. Son casi 200 los ejemplos de trazas de escaleras semejantes a las escaleras de la catedral de Tortosa (Figura 3). Es el caso de los proyectos de la escalera de la catedral de Estrasburgo (c.1400) (ABK nº 16953) con 16 rellanos (10), o la de Viena (c.1500) (ABK nº 16.855) que se divide en 15 partes (11). En el catálogo del Maestro WG (1560-1572) de Frankfurt, la traza (WG 26-1) está divida en 14, la (WG 26-2) en 12 y la (WG 35) en dieciséis mesetas (12).

En la tratadística aparece la escalera de espiral con 12 peldaños del Underweysung der Messung (1525) de Albrecht Dürer (1471-1528) (13). La traza de vis de Saint Gilles con 24 rellanos de Philibert de l’Orme (1510-1570) publicada en la L’architecture (1576) (14). En el Libro de trazas de cortes de Piedras (c.1580), atribuido a Alonso de Vandelvira (1544-1626), el caracol de emperadores tiene 28 rellanos (15). En el manuscrito Cerramientos y Trazas de Montea (c. 1600) de Ginés Martínez de Aranda (1556-1620), se traza el caracol de usillo con 12 divisiones (fol.222), y en el doble, se construye con 18 peldaños (16). En la Vertaderas traçes del Art de picapedrer (1653) de Josep Gelabert (1621-1668) los ejemplos del caracol son: el de botó redó (fol. 42v-43r), con un polígono de 11 lados, el de botó fa pilar entorxat, con 16 lados (fol. 43v-44r), el de ull ubert (fol. 44v - 45v) con 12 escalones, botó redó y ullobert (fol. 45v-46r) con 17 peldaños. Finalmente el dos cargols qui ballen per dins un redó (fol. 46v-47r), construidos con 10, 11 o 12 rellanos (17).

Estas escaleras de caracol están inscritas mediante polígonos regulares de 10, 12, 15, 16, 18, 24, 28 lados. Éstas tienen como base de su construcción geométrica, las figuras del cuadrado, pentágono, hexágono y octógono, los cuales se pueden identificar directamente en los Elementa de Euclides (326-265 aC), traducidos por Adelardo de Bath (1075-1166), y en el Almagesto de Ptolomeo (c.85-165), trasladado por Gerardo de Cremona (1114-1187)1. Sin embargo, alguno de los polígonos en que se divide el caracol de 11, 13, 14, 17 o 19 lados, no aparecen en estas referencias cultas.

En el caso de la catedral Tortosa, la escalera de caracol de San Pedro (1383) está dividida en 10 partes, y su construcción geométrica tiene como base el pentágono; mientras que para la construcción de la escalera de Santa Catalina (1424), con 13 lados, no se tiene referencia directa en los textos medievales. Por tanto, el maestro medieval debía tener algún método para encajar los peldaños en el interior de su escalera de caracol. A esta dificultad geométrica y aritmética hay que añadir la dificultad de la talla y estereotomía, como es el caso de la construcción de la vis de Saint Gilles (18), la escalera de husillos con machón helicoidal (19), o las de caracol con ojo (20). Por ello, para el trazado de estas escaleras de caracol, es necesaria la utilización de una plantilla, construida mediante una escuadra.

Las escuadras están definidas en el Timaeus de Platón (c.429-437 aC) (21), donde se determina el triángulo como elemento básico de la geometría (Tim. 53,c-d). Al triángulo rectángulo isósceles, le asignará el mayor grado de belleza (45°-90°-45°). A partir del escaleno (30°-90°-60°) se genera el triángulo equilátero (Tim. 54,d-e), y el cuadrado a partir del isósceles (Tim. 55,b) (Figura 4).

Aristóteles (384-322 aC) definirá, en el Metaphysicorum, el triángulo como la unidad elemental, el Uno, (Met. L.X, 2, 1054ª a, 1-5), conocerá la propiedad de los triángulos, en la que la suma de sus ángulos es igual a 180°. Por ello construirá ángulos rectos a partir del arco capaz (Met. L.IX, 10, 1051ª, 25-30) (22). Será Euclides (326-265 aC) en sus Elementa (L.I. 47)] quién demostrará el teorema del triángulo rectángulo, a ² = b ² + c ², donde a = 1/2 (b ² + 1) y c = 1/2 (b ² − 1) (23).

Vitrubio (c. 80- c.20 aC) en su De Architectura (c. 15), recurrirá a Platón, definiendo el cuadrado de lado 10 con sus diagonales (L.IX.2) y a Pitágoras (3,4,5) (L.IX.2) (24). Por su parte, Cetio Faventino (f. 350) en el Artis architectonicae privatis usibus adbreviatus liber, dice que la escuadra es el descubrimiento del principio de la proporcionalidad, utilizando la terna (2, 2, 2 + 10/12) (25). Escuadra recogida también en las Etymologiarum de San Isidoro de Sevilla (560-636) (Etm.XIX.18.1) (26), y transmitida al Libro XXI.XI del De rerum naturis, de Rabanus Maurus (c.780-856) (27).

Formalmente, las escuadras clásicas tienen brazos perpendiculares entre sí, y a la vez paralelos, y por tanto, con dos ángulos, interno y externo de 90°. A partir del siglo xiii, aunque se siguen utilizando la escuadras clásicas, aparecen las conocidas como d’ongletes (28). Estas escuadras tienen los brazos divergentes, donde el ángulo externo es recto, mientras que el interno no lo es. Estas escuadras pueden ser utilizadas tanto a modo de ábacos, como también para la estereotomía de la piedra (29). Existen así diferentes formas: la conocida como canónica, con ángulos de 30°-60° de Hugues Libergier (c.1263) (30) (Figura 5a), la pitagórica (3, 4, 5) de Niederhaslach (31) (Figura 5b), las de doble cuadrado, como la Life of the Offas (c.1236) (32), o la de la catedral de Gerona (33) (Figura 5c). Otras con coordenadas decagonales (36°- 54°), como la de la catedral de Poitiers (34) (Figura 5d), o escuadras que tienen como base el triángulo áureo (31,72°-58,20°) (35) (Figura 5e).

En el cuaderno de Villard de Honnecourt (c.1175-1240), (BnF. ms. fr. 190093, fol. 20 r), aparecen tres representaciones de escuadras de brazos no convergentes, utilizadas para la talla de salmeres de una bóveda (f), la construcción de dovelas (i), y otra para la duplicación de volúmenes (q) (36). La escuadra se utiliza también como elemento auxiliar para medir alturas que son inaccesibles (fol. 20 v) (37).

En otro contexto, Berand Boysset (1355-1415) en La siensa de atermenar (1401), dedicará una parte a la construcción de la escuadra. Un método lo realiza con regla y compás (CBM. 237, fol. 215 r, 216 v) (Figura 6a), mientras que el otro lo hace sin instrumentos (CBM 327, fol. 216 v, fol 220 v) (Figura 6b) (38).

La primera geometría escrita y difundida fuera de las logias, la Geometrie Deutsch (1488) de Matthäus Roriczer (+c. 1495), construye la escuadra con una operación combinada de compás con dos diámetros y tomando tres puntos extremos, en la tradición de Boyssey (39). Albrecht Dürer (1471-1528) en el Underweysung der Messung (1525) construye la escuadra a modo de Roriczer (40).

La construcción de la base de la torre del Villard de Honnecourt (fol.20.r.c) (Figura 7a), Par chu portait om one toor a chinc arestes ha sido interpretada por M. T. Sarrade y R. Bechmann, como la construcción de un pentágono mediante una escuadra que va situándose por los puntos medios y sextos, (1/3-0,77), creando así los vértices del polígono regular inscrito en la circunferencia. Hemos reconstruido el proceso de estos autores mediante una escuadra de proporción 1/3, con (100 u) en 4 lados y el de cierre (102,61 u), y con un ángulo de giro (108,43°) (Figura 7b).

Otro método que proponemos se realiza con una escuadra de proporciones de (2/6), con la que se situará una alineación entre el segundo punto de un cateto y el extremo del otro, colocándose sobre esta alineación el nuevo lado del pentágono (Figura 7c). Una solución similar es situar la escuadra en los vértices, apoyando reiteradamente la escuadra sobre la hipotenusa (Figura 7d). Ambas soluciones son coincidentes con los resultados obtenidos por Sarrade y Bechmann.

Otra tesis es la que se puede extraer del ábaco de la tumba de Saint-Ouen, dónde Sarrade plantea la posibilidad de construir polígonos regulares. La hipótesis comprueba que en el punto (a) se determina la diagonal de un cuadrado, en (b) la diagonal de un rectángulo cuya relación es de (4/5), en (c) el lado de un triángulo equilátero y sobre (d) la pendiente de una recta de un tercio (Figura 8). Estas proporciones (a), (b), (c), (d), pueden ser expresadas como (4/4), (4/5), (4/7) y (4/12), pero también en base doce, como el cuadrante de las sombras de un astrolabio; (4), (6+6/7), (9+1/6), (12) (Figura 8).

Con una escuadra (100 u) podemos operar, de modo que su posición relativa vaya girando en el extremo del cateto, haciendo así que la escuadra quede alineada con la hipotenusa. Si tomamos la escuadra isósceles y orientamos una nueva sobre su diagonal, obtendremos un cuadrado. Si repetimos el mismo proceso con las escuadras (100-100/3) obtenemos un pentágono, con la aproximación a la escuadra escalena de (100-40/7) obtenemos un hexágono, con la (100-80) obtenemos el heptágono, con la isósceles (100-100), el octógono. En el caso del cuadrado los cuatro lados tienen la misma medida (100), al igual que los ocho del octógono (100), por lo tanto la construcción es exacta. La construcción de las otras figuras es aproximada: en el pentágono, 4 lados (100) y el cierre (102,61), en el hexágono, 5 lados (100) y el otro (97,68) y en el heptágono 6 lados de (100) y el de cierre (101,12) (Figura 9).

Así, este método sugiere la aproximación de los principales polígonos regulares, de acuerdo con la Tabla 1, donde (l) es el lado desigual, (α°) el ángulo desigual y (ε %) el error relativo frente al polígono regular.

Tras el comienzo de la obra gótica iniciada en 1346, la construcción se reanudó por la parte de la torre septentrional de la Capilla de San Pedro en 1375, empezando así la construcción del ábside radial. La escalera de caracol tuvo que ser terminada en el momento que fue cubierta la capilla de San Pedro en el año 1383, por Joan Mayni (41). Años más tarde El rey Martín I (1356-1410) solicita al maestro de la catedral de Tortosa, una mostra de la escalera de caracol de la torre de San Pedro (42) (Figura 10). El desarrollo de la escalera helicoidal de San Pedro es caragol d’ull obert, de planta circular de 144,00 cm, con escalones en forma de lúnula y la sección de su alzado resuelta a modo de elipsoide. Este modelo comporta una mayor comodidad a la hora de permitir la circulación vertical, mejorando considerablemente su accesibilidad. La escalera tiene un paso de rosca de 11 tabicas de 25,00 cm y diez rellanos de medidas de su trapecio de (5,30; 63,00; 44,50 y 63,00 cm), con un ojo de 17,00 cm de diámetro.

La construcción geométrica de la escalera tiene como base el pentágono. Esta figura apareció en la primera edición española de los Elementa de Euclides (IV.11-14), de Rodrigo Zamorano (1542-1623) (43) (44), y en la del Almagesto (LI. X) de Jorge de Trapezuntio (1395-1486) (45) (46). También está presente en la tradición árabe de Abū al-Wafā Al-Būzjānī (940-998) en el Kitāb fā mā yaḥtāju al-ṣāni‘ min al-a‘māl al-handasiyya (Libro de las construcciones geométricas que son necesarias para artesanos) (c.993-1008) (47) (48).

En la cultura tardogótica, la figura del pentágono aparece resuelta en la Geometrie Deutsch (1488) (P2.fol.2r) (Figura 11a) de Matthäus Roriczer (+c. 1495) (49) a partir de su lado. También en los primeros tratados renacentistas como el Underweysung der Messung (1525) (LII.15-16) (Figura 11b), de Albert Dürer (1471-1528) (50), el De varia commensvracion (1585) (L.I.Cap.II.10) (Figura 11c) de Juan de Arfe (1535-1603) (51) se realiza mediante la inscripción en la circunferencia, donde la construcción geométrica del pentágono es exacta, ya que dado un radio (100 u), se conocen todos los lados (117,56 u), pudiéndose así construir mediante una escuadra de coordenadas decagonales (36°-54°). No ocurre así con el trazado del Breve compendio de la carpinteria de lo blanco (1633), (Figura 11d) de López de Arenas (+c.1640) (Cap.I, fol. 1r-1 v) (52), ya que la proposición no tiene una solución precisa, con lo que cabría un pequeño ajuste del cartabón.

En la construcción de cualquier instrumento, existe una imprecisión, por lo que es necesario ajustar dicho utensilio. Así se traza una línea horizontal (r), en la que se sitúa el triángulo rectángulo ABC, cuyo ángulo recto es el A, disponiendo la hipotenusa CB, sobre la recta y girando la escuadra sobre sí misma, se determinará que el vértice (A) debe estar sobre la línea horizontal. En caso contrario se deberá ajustar el ángulo reiterando el proceso. En algunas construcciones derivadas de las escuadras decagonales, la escuadra no necesita ajuste, puesto que es exacta (Figura 12a). Pero el sistema sugerido por un cartabón de cinco de López de Arenas sí necesitaría ajuste, puesto que la solución geométrica carecerá de precisión (7) (Figura 12b). También podríamos utilizar una escuadra del ábaco de la tumba de Saint-Ouen, o finalmente construir una escuadra de proporción (11/8), que es más precisa que el cartabón de cinco, o la del ábaco de Saint-Ouen (Figura 12c).

La escalera de Santa Catalina se construye una vez acabadas las capillas radiales. El caragol sobiranes es conocido como caracol mayor de la catedral. La escalera se edifica a la vez que la última capilla radial, dedicada a Santa Catalina (1412-1424). En noviembre del año 1424 se erigen las puertas que cierran la escalera (53). La escalera de Santa Catalina, que es de caragol de botó redó, tiene 211,40 cm de diámetro, con un nabo de 21,60 cm y rosca de 14 tabicas de 22,00 cm, y trece rellanos trapezoidales (6,00, 96,00, 54,90, 96,00 cm). Tiene la especial característica que sus ocho primeros peldaños están construidos con dos piezas, teniendo éstas un ángulo recto, asimilables a una escuadra (Figura 13).

En la escalera de Santa Catalina la circunferencia se divide en 13 partes. Esta inscripción poligonal no aparece en los tratados matemáticos, ni en las geometrías prácticas de la época. Su construcción puede partir del ajuste de una escuadra, por interpolación entre la escuadra del hexágono (4/7) y la del heptágono (4/5) utilizando el ábaco de Saint-Ouen. Se construye así una escuadra (Ea) de proporciones (4/6) con lo que se procede a su rotación sobre su hipotenusa (100 u), llegando a cierre con un desfase de tan solo (4,5 u), sobre una longitud de (628,31 u). Podemos también utilizar una escuadra (Eb) de proporciones (4,5/13), donde al cerrar la rosca, da un error de (0,62 u); por tanto, aunque menor que la (Ea), también requiere ajustarse (Figura 14).

En la escalera de caracol de Santa Catalina, las primeras piezas tienen un despiece en forma de escuadras, con lo que se divide el caracol en trece partes. En las fuentes directas no aparece una construcción geométrica para esta división poligonal. La utilización de la escuadra como ábaco de cálculo y plantilla, permite trazar este caracol. La proporcionalidad entre los catetos determina el ángulo interno de la escalera. La traslación reiterada de los catetos sobre la hipotenusa determina el giro del instrumento, a la vez que permite su ajuste. Estos métodos formarían parte de la geometria fabrorum, resultando muy eficaces para la división poligonal de 11, 13, 14, 17 o 19; las cuales no aparecen ni en las fuentes mathematicis, ni en los escasos códices de la Practica Geometriae.