El ámbito de la investigación pretende analizar desde el conocimiento epistemológico el trazado geométrico de polígonos regulares en el mudo clásico y medieval, el cual no aparece en los dos textos de referencia de geometría culta, como son los Elementa de Euclides y el Almagesto de Tolomeo y tampoco en aquellos de aplicación práctica del Corpus agrimensorum del mundo romano o de las Practica Geometriae en el período gótico. El objetivo de la investigación es determinar el procedimiento de trazado geométrico de dos elementos escultóricos como el Clypeus de Tarragona (s. I) (Figura 1) y la de la faz de Cristo (s. XIV) (Figura 2) del rosetón de la catedral de Orvieto, ambos generados con la figura del icosakaidígono, o polígono de 22 lados.

Ambas figuras tienen la peculiaridad de estar dividas en 22 partes, formando un icosakaidígono, siendo una de las escasas figuras utilizadas en la tradición romana, como el mausoleo de Le Carceri Vecchie (s. I) de Capua. También es poco utilizada en el gótico, a excepción del rosetón de la catedral de Troia (s. XII), o la rotonda de Neuvy-Saint-Sépluche de Indre (s. XII).

El Clypeus de Tarragona es una pieza en parte reconstruida, depositada en el Museo Nacional Arqueológico de Tarragona (MNAT-117). La pieza fue esculpida en el siglo primero en mármol de Luni-Carrara y formaba parte de la decoración del ático del recinto de culto de Tarraco. El medallón tiene en su centro la representación de las deidades de Jupiter-Ammon (1), (2).

La construcción del rosetón de la catedral de Orvieto se realiza tras la modificación del proyecto original de la fachada principal de Lorenzo Maitini (c. 1275-1330), efectuada el año 1310 (3) por el escultor Andrea di Cione (c. 1308-1368), conocido como Andrea di Orcagna, modificando el diseño del rosetón de base octogonal (4), (5), (6). En el centro aparece representada la faz de Cristo sobre una crux immissa quadrata, rodeada de una corona con veintidós columnas. Tiene la misma estructura que un clypeus, pero a diferencia de éstos, que disponen de una ornamentación en forma vegetal, su corona se construye con 21 arcos trebolados.

Existen antecedentes de trazas geométricas de rosetones como los de Villard de Honnecourt (ca. 1220-1250) (BnF. ms. fr. 190093), quien dibuja el de la catedral de Nôtre-Dame de Chartres (fol. 15 v.), dividido en 12 partes, como también el de Lausanne (fol. 16 v.) (7), el del baptisterio de San Juan de Siena (S4) (8), y el del Plan B de la fachada de Estrasburgo (1255-1260) (9). En la misma catedral, en el Proyecto de 1365, la circunferencia está dividida en 36 partes (10). En el catálogo del Maestro WG (1560-1572), de Frankfurt, los diseños (WG 8. WG 22) están divididos en 8 partes, el (WG 15) en diez y el (WG 87) en 24 lados (11).

La división de la circunferencia en 22 partes es uno de los problemas que ha de abordar tanto el escultor romano como Andrea di Orcagna. Las construcciones geométricas que tienen como base las figuras del cuadrado, el pentágono, el hexágono y el octógono, se identifican en los Elementa de Euclides (326-265 a.C.) (12) y en el Almagesto de Ptolomeo (c. 85-165) (13), sin embargo, el polígono de 22 lados no aparece en estas referencias cultas.

A partir de una toma de datos, como elemento instrumental determinado en función de la accesibilidad de las esculturas, se propone un tratamiento estadístico de estos datos objetivos. Así los resultados obtenidos se comparan en función del error relativo de los 22 puntos que determinan la figura del icosakaidígono. Estos resultados se cotejan geométricamente con aquellos métodos operativos que se conocían en el período tardoclásico hasta el mundo gótico.

Existen antecedentes para el trazado del polígono de 22 lados heredados del mundo clásico, teniendo como base las aproximaciones del número Pi (π), conocidas en el mundo medieval a través de Arquímedes (c. 287 a.C.-c. 212 a.C.) (14). Los métodos están basados en la división del diámetro en n partes, para luego abatirlos sobre la cuerda de la circunferencia. Sir Thomas Little Heath (1861-1940) determina en Grecia la relación (14/25) que fijaremos como M_1, y la construcción del endecágono con la relación (2/7), método M₂ (15). La Métrica (LI. XXIV), de Herón de Alejandría (c. 20-62), utiliza la relación de (7/25) (16). En el Clypeus de Tarragona (s. I) de Jupiter-Ammon se especula con la aproximación de (14/25) (17), ambos ejemplos según M₁. El mausoleo de Le Carceri Vecchie (s. I) de Capua, de base circular con 22 módulos, tiene una relación (1/7), método M₃ (18).

En el contexto medieval, en el álbum de Villard de Honnecourt (ca. 1220-1250) (BnF. ms. fr. 190093, fol. 20 v.), se construye una torre pentagonal, utilizando el movimiento de una escuadra (19). También lo es la referencia de la tumba de Saint-Ouen (ca. 1300), donde el ábaco en la mano del arquitecto ha sido asimilado a la construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia (20). Otra alusión es la de Diego López Arenas (+c. 1640) en la Primera y segunda parte de la carpintería hecho por Diego López de Arenas (1619), donde define el cartabón para la traza de polígonos regulares (21). Se requiere así el método de las escuadras utilizando las proporciones entre los brazos del (16/25), método M_4, y la de (1/7) como M₅. Estos métodos son reiterativos y permiten ajustes.

Otra tesis para la construcción de estos polígonos sería la división angular de las Practica Geometriae, utilizados para la construcción del trazado de astrolabios o cuadrantes astronómicos, método M₆. Caso de Hernán de Contracto (1013-1050) en la De mensura astrolabii (c. 1050) (22), la Practica Geometriae (1125-1130) de Hugo de San Víctor (ca. 1100-1141) (23), el Artis cuiuslibet consummatio (c. 1193-c. 1220) atribuido a Gérard de Bruxelles (f. 1220) (24), el Quadrans Vetus de Robert Anglès (c. 1240-c. 1271) (25) o la Practica Geometriae(1346) de Dominicus de Clavasio (+c. 1362) (26).

Otra posibilidad es el conocimiento de las geometrías cultas esencialmente concentradas en los Elementa y el Almagesto donde, aunque no aparezca el undecágono, sí se podría construir mediante la intercalación de dicha figura entre los polígonos de 20 y de 24 lados, trazados a partir del pentágono y hexágono. También como consecuencia de éstos, como las figuras pes Arenis, cauda Pavonis, Medriatix, Pax et Concordia o la Demonis y trazadas con compás (27). Figuras próximas a la hipótesis geométrica del Reliquiario del Corporale del Miracolo di Bolsena (1337-1338) de Orvieto, de Ugnolino di Vieri, método M₇ (28).

La toma y captura de los datos geométricos se realiza por métodos diferentes en función de la accesibilidad de las esculturas. En el caso de la faz de Cristo (s. XIV) del rosetón de la catedral de Orvieto éstos son captados mediante técnicas de escáner láser, puesto que el objeto es inaccesible (29), (30). La fiabilidad de estos datos ha sido ampliamente testeada (31), (32) permitiendo el estudio detallado de objetos lejanos.

Otras técnicas de aproximación a objetos cercanos, de pequeña y mediana escala, permiten el análisis preciso de su geometría a partir de la fotografía. Será el caso de las técnicas fotogramétricas (33) como la de Close Range Photogrammetry (CRP) (34) y, sobre todo, la de Structure From Motion (SFM), desarrollada más recientemente, y que permite una operativa sencilla para reproducir la geometría y textura de objetos de diversas escalas (35), (36). La digitalización de la figura Clypeus de Tarragona (s. I) se ha realizado mediante fotogrametría con el programa 123Catch de Autodesk. Se trata de un software gratuito basado en el sistema SFM. La precisión de este software presenta algunas limitaciones respecto a otros programas comerciales, especialmente en el caso de levantamientos de escala arquitectónica (37), (38), donde la definición de la escala métrica afecta a la precisión final del modelo. El objeto analizado en este caso tiene una medida relativamente pequeña, y el fotografiado pudo realizarse a una distancia adecuada, por lo que las distorsiones métricas son muy reducidas. Además, el tamaño del Clypeus también provoca que las desviaciones causadas por el escalado del objeto tengan una incidencia mínima en los resultados del estudio. Este programa ofrece una gran facilidad de uso, y no es necesario disponer de una gran capacidad de computación para obtener resultados, como sucede con otros programas comerciales (39).

El levantamiento topográfico del rosetón de Orvieto se ha realizado mediante un escáner láser terrestre, modelo Leica ScanStation P20, con 11 posicionamientos, 8 estaciones a nivel peatonal y 3 en la cubierta del Museo Claudio Faina, situado frente a la fachada principal de la catedral. Las nubes de puntos se han procesado con los programas «Cyclone» y «3DReshaper», con el fin de obtener una imagen de gran precisión y a escala métrica del rosetón.

La digitalización del Clypeus se ha realizado mediante fotogrametría con el programa 123Catch de Autodesk, que permite la obtención de un modelo tridimensional de forma automatizada, a partir del fotografiado exhaustivo de la pieza desde distintas posiciones. El solape entre las fotografías es total en la toma de datos, es decir, cada fotografía captura completamente el Clypeus, desde distintas posiciones. Se ha utilizado para ello una cámara Nikkon D7000, con un objetivo Tamron (AF 17-50mm, F/2.8). Autodesk no proporciona datos sobre los algoritmos de alineación de las fotografías ni de calibración de la cámara. Una vez obtenida la malla triangular, ésta se refina con el programa Rhinoceros, con el que también se genera la ortoimagen a escala métrica. El escalado de la pieza se realiza a partir de medidas tomadas manualmente in situ.

Una vez obtenidos ambos modelos y generadas las ortoimágenes, se coordenan todos los puntos con el software vectorial AutoCAD (Figura 3). Los 22 puntos para el estudio se han identificado de forma organoléptica. En el caso del rosetón la elección entre todos los puntos topográficos se ha afinado detectando los 22 puntos más próximos al extremo de las esculturas, teniendo una dispersión menor de 0,002 m. El rango de precisión de la toma de datos, elección de puntos y su tratamiento lo situamos en (0,003-0,004 m), totalmente aceptable para un tratamiento matemático de esta operativa. En el caso del Clypeus la elección de los puntos se ha realizado sobre la escultura, con una dispersión también inferior a 0,002 m. La precisión del levantamiento y la definición de las coordenadas para el estudio se establecen en el mismo rango que el del rosetón (0,003-0,004 m). Se asume que las incidencias sobre los elementos, como los errores de ejecución o la reconstrucción del Clypeus, pueden alterar el método inicial de trazado, por ello se acude a una metodología que es una simbiosis entre los métodos geométricos y estadísticos. Por ello, el primer paso para este análisis geométrico y estadístico es calcular la circunferencia de regresión de los 22 puntos que configuran ambos elementos.

Se asigna a los 22 puntos para cada caso , de las 22 arcadas perimetrales del medallón del rosetón y de la anilla del Clypeus (Figura 4). En ambos elementos se observan que de los 22 vértices v_i, vemos que no existe ninguna circunferencia que pase por más de 3 puntos. Aplicando ecuaciones normales de Gauss (x_i, y_i) de estos 22 v_i (Tabla 1) y encontramos las ecuaciones de las circunferencias [1, 2] de regresión cuadrática C para el caso del rosetón [1] y para el Clypeus [2].

Una vez analizados los siete métodos de análisis de las hipótesis (M₁ … M₇), se procede a la comparación de éstos en función de las medias de los coeficientes Ajustados de Determinación de Pearson. El uso de dichos coeficientes tiene sentido siempre que sean altamente representativos; esta característica se mide con el Coeficiente de Variación de Pearson CV. De forma estándar, estadísticamente se considera que la media es representativa si CV < 25%; haciendo los cálculos con todos los parámetros anteriores observamos que los CV obtenidos para las medias de los Coeficientes ajustados son todas menores que 0,052%. Esta altísima representatividad permite disponer con todos los resultados, geométricos y estadísticos, de las 154 comparaciones, por pieza. La más aproximada es la que se hace con el modelo M₇, en ambos casos según la Tabla 4 (Figura 8).

El llamado icosakaidígono, polígono de 22 lados, no aparece en los Elementa de Euclides, ni en el Almagesto de Tolomeo, ni en las escasas Practica Geometriae de la época, pero puede ser construido mediante diferentes aproximaciones. Desde el punto de vista estadístico el método que más se aproxima en la construcción de las esculturas del Clypeus Tarragona, Jupiter-Ammon (s. I), y el del rosetón de la catedral Orvieto, con la escultura de la faz de Cristo (s. XIV), es el M₇, utilizado probablemente en la construcción del Reliquiario del Corporale del Miracolo di Bolsena (1337-1338) de la catedral de Orvieto.

Por otra parte existe una extraordinaria coincidencia métrica entre ambas figuras, el Clypeus tiene una circunferencia de regresión de R = 0,3349 m, mientras que la de la faz de Cristo es de R = 0,3378 m. Los lados teóricos del icosakaidígono también se aproximan enormemente, en el primer caso 0,0953 m y en el rosetón 0,0961 m. La composición del cuerpo central la figura de la faz de Cristo tiene la misma alegoría que los Clypeus respecto al dios Jupiter-Ammon, es como si esta conciencia compositiva hubiera perdurado desde la tradición clásica, a lo largo de más de un milenio, hasta el gótico.

En el resultado estadístico en segunda posición aparece la posible construcción mediante escuadras por rotación del M₄, método que con su progresivo ajuste podría llegar a mejorar su precisión para el trazado de las esculturas.