El material original de partida ha sido el disponible en el sitio web del proyecto digital Betancourt
Como se ha indicado, el modelo CAD 3D se ha obtenido gracias al concurso del software paramétrico Autodesk Inventor Professional 2016
A partir de la
La solución que aporta Betancourt es permitir que las palas estén unidas a sus guías [1] por un eje excéntrico de modo que puedan girar libremente sobre dicho eje. Con esta sencilla operación, las palas de la máquina eólica se dispondrían todas en la dirección del viento como si se tratara de una veleta, oponiendo al viento la menor resistencia posible. Para que esto no sucediera en todas las palas a la vez, Betancourt dispone en las guías unos topes de modo que impidan que la pala pueda girar libremente 360º. Así pues, cuando el viento soplara en una dirección, las palas girarían libremente presentando la menor resistencia a viento, y dos de ellas chocarían contra el tope de la guía provocando el giro de todo el sistema, y por tanto, haciendo que rotara el eje principal de transmisión (
El extremo de dicho eje está apoyado en una pieza de madera denominada carro [9] que presenta un grado de libertad; de este modo, el sistema rotor impulsor no sólo gira sino que además puede desplazarse a derecha e izquierda (
El mecanismo de desagüe está sostenido en un bastidor de madera que forma parte de la estructura principal [4] que soporta todas las tensiones estructurales. De un lado, facilita que el eje principal siempre esté en posición vertical, y por otro lado, aloja todo el mecanismo elevador de agua. La base del bastidor es un cuadrado por el que ascienden y descienden dos cubetas a modo de cangilones a la zona inundada.
Así pues, se parte de una posición en la que el eje principal está pegando a uno de los tambores [5]. Al estar en esa posición, la corona dentada que está en el extremo del tambor [10] se encuentra engranada con el tornillo sinfín de dicho eje, de manera que al girar el eje por acción del viento, esto provoca que el tornillo sinfín y la corona giren solidariamente. El movimiento del tambor se transmite a la cuerda que está enrollada una sola vez en el zona media del tambor. La cuerda está dispuesta de modo que está enrollada enambos tambores y de sus extremos se suspendan las dos cubetas, una llena (la que sube), y otra vacía (la que desciende). El movimiento del otro tambor se debe a dos motivos: de una parte, en su extremo hay una cubeta que pesa, y de otra, la cuerda que une ambas está tirante, lo que permite el movimiento. Al girar el tambor, la parte de cuerda que está entre ambos tambores crece pero el peso de la cubeta vacía hace que gire descendiendo la otra.
Sobre el asa de la cubeta llena de agua hay una esfera metálica que funciona a modo de tope. En determinado momento, ésta choca con el regulador de llenado [6], y hace que cambie su posición balanceándolo de su posición a la de equilibrio en el otro extremo. El regulador de llenado es un eje horizontal con diversas extensiones laterales a modo de balancines, de modo que al girar dicho regulador levanta la leva [8] que libera el movimiento del carro que sostiene el extremo del eje vertical. El carro es empujado por un martillete inserto en el regulador de llenado lo que provoca que el tornillo sinfín se desengrane moviéndose lateralmente hasta chocar con la rueda dentada del otro tambor. Durante este tiempo, el mecanismo de desagüe se para. Al engranar el otro tambor con el tornillo sinfín, éste empieza a girar en sentido contrario y la cubeta que descendía asciende ahora (supuestamente cargada de agua). De este modo, van ascendiendo alternativamente una u otra cubeta desaguando paulatinamente la zona inundada. La cubeta en su movimiento ascendente choca con una vara de hierro que le obliga a girar volcando el líquido sobre las artesas [7] confinadas en la parte inferior de la estructura. Las artesas presentan una tubería de desagüe en dirección a un lugar donde alojar el agua.
La originalidad del sistema reside tanto en el modo en cómo el mecanismo impulsor aprovecha la energía eólica con alta eficiencia como en el sistema de alternancia del movimiento ascendentes-descendente de las cubetas.
Antes de realizar la simulación del análisis estático del mecanismo conviene establecer una serie de simplificaciones que faciliten su ejecución sin que por ello el resultado del mismo se vea afectado. De este modo, las necesidades de cálculo serán menores y el análisis más fácil de realizar.
Se han eliminado las cubetas, cuerdas y demás elementos del sistema de elevación sustituyéndolos por dos momentos en cada uno de los tambores. Todos estos elementos serán sustituidos por un momento de la fuerza que provoca el peso del agua cargada por la cubeta sobre el tambor cilíndrico. Asimismo, se han despreciado el peso del asa, de los materiales pequeños y de la misma cuerda porque son valores pequeños, y porque del otro tambor cuelgan los mismos elementos actuando a modo de contrapeso.
Se ha eliminado la veleta de la estructura superior. Este elemento ofrece una información sobre la dirección del viento pero no tiene ninguna función estructural y su peso es despreciable.
Se va a suponer que las artesas están completamente llenas de agua, lo que se va a traducir en dos presiones determinadas en el fondo de cada una de ellas, ya que el análisis de tensiones se va a realizar en el caso más desfavorable.
Se ha despreciado el peso de las levas frente al resto de tensiones ocasionadas, ya que además no tienen ninguna función estructural, por lo que se eliminan del análisis.
Con lo dicho hasta aquí, cabe concluir que el mecanismo de estudio será el formado por dos grandes conjuntos: de una parte, la estructura superior formada por palas (aspas), sus guías y eje vertical con su tornillo sinfín en el extremo inferior, y de otra, por la estructura inferior formada por el bastidor, los dos tambores cilíndricos con su coronas metálicas, el carro que facilita el movimiento lateral del eje vertical, y por último el balancín de llenado.
Queda por exponer una última condición que va a cambiar sustancialmente el resultado del análisis, y es que la posición que tenga el eje vertical de la máquina no es indiferente. No resulta lo mismo que el tornillo sinfín trabaje engranado con las coronas de los tambores o que no lo haga. Por ello, se va a realizar el estudio de tensiones teniendo en cuenta dos posiciones extremas: en la primera de ellas, el eje estará engranado con los tambores, y en la segunda, el eje descansará completamente en el carro (
Una vez que se ha pre-procesado el modelo asumiendo las simplificaciones indicadas previamente, hay que asignar a cada elemento del ensamblaje un material concreto con unas determinadas propiedades. La escasísima información que se ha obtenido sobre la invención histórica estudiada no permite conocer con exactitud, los materiales empleados por el ingeniero canario en su construcción. Aun así, se han asignado materiales semejantes a los que pudo tener acceso Betancourt, y en particular, de la biblioteca de materiales del software utilizado (Autodesk Inventor Professional), se han empleado aquellos que se ajustaban a los requerimientos operativos, es decir, hierro fundido para piezas metálicas y roble para las de madera, que por otro lado es el material principal de la máquina.
Las propiedades térmicas, mecánicas y los límites de resistencia de estos materiales se pueden consultar en el citado mismo software. El hierro fundido tiene un comportamiento isótropo y sus propiedades físicas principales son: módulo de Young (210.000 MPa), coeficiente de Poisson (0,30), densidad (7.150 kg/m3) y tensión de rotura (758 MPa). En cambio, la madera de roble tiene unas propiedades más complicadas ya que es un material ortótropo. Se sabe que si se actúa en la dirección de la veta, las propiedades son mejores pero no así, en las otras dos direcciones. Por tanto, se ha supuesto que la dirección de la veta es la que define la dirección principal de los cuerpos, como es lógico, y por lo tanto, sus propiedades físicas son: módulo de Young (210.000 MPa), coeficiente de Poisson (0,30), densidad (760 kg/m3) y tensión de rotura (41 MPa).
Una vez que se tienen aplicados los materiales a todos los componentes del conjunto, el siguiente paso en la preparación de la simulación es la de imponer condiciones de contorno. Cada uno de los componentes del conjunto puede funcionar de determinada manera atendiendo a su movilidad, lo que afectará al análisis estático del ensamblaje.
En primer lugar, se tienen elementos que tienen una restricción de movimiento completa, como son los componentes fijos. Así pues, en este caso, la base de la estructura principal se considera empotrada o fijada al suelo (
Un segundo tipo de restricción, con un grado más de libertad, son aquellos componentes que no pueden desplazarse longitudinalmente pero sí pueden girar; en Autodesk Inventor Professional, esta restricción se llama de rodadura o de pasador, presentándola un buen número de componentes. Así pues, en primer lugar existe una restricción entre el eje vertical y la base o carro donde se apoya; en segundo lugar, entre las aspas y las guías, y por último, el de los elementos horizontales (tambores cilíndricos, levas y regulador de llenado) apoyados en el bastidor inferior con los tambores y el mecanismo de llenado (
Un tercer tipo de restricción es el que presenta un grado de libertad más, deslizante o sin fricción, y es el que se establece entre el carro que soporta el peso del eje principal y el bastidor (
Por último, es necesario indicar que las condiciones de contorno no se ven afectadas por las dos posiciones anteriormente citadas aunque sí que hay que definir los contactos correctamente. Así pues, para que el análisis de tensiones sea correcto hay que activar los contactos entre todas las piezas del ensamblaje; de este modo Autodesk Inventor Professional determina automáticamente las superficies entre las distintas piezas que van a entrar en contacto. No obstante, el software permite definir manualmente algunos contactos en el caso de que por su complicada geometría no sea capaz de identificarlos correctamente. Éste es el caso del contacto que existe entre el eje vertical y el taladro practicado en la parte superior del bastidor, y cuya función es mantener la posición vertical del eje (
La siguiente etapa en el análisis estático del conjunto, es concretar la acción de las cuatro fuerzas que van a incidir sobre él: la acción del viento sobre las palas, el peso del agua sobre el fondo de las artesas, las fuerzas sobre los tambores producida por el agua elevada por la cubeta y, por último, la acción de la gravedad sobre todo el conjunto (
La presión del viento ejercida sobre las palas es la fuerza principal que acciona la invención, de ahí la necesidad de su correcto cálculo. Sin embargo, la incidencia del viento sobre las palas es un estudio que requeriría un análisis exhaustivo desde la dinámica de los fluidos. Por ello, para el presente estudio se va a simplificar su incidencia, ya que el objetivo de este estudio es estructural, de manera que se va a calcular la incidencia del viento en función de la densidad del aire y la velocidad del viento.
Para obtener la velocidad del viento, se va a suponer que la máquina eólica trabajó en algún momento en algún lugar de Francia donde Betancourt trató de ponerla en funcionamiento. Para ello, acudiendo al Eurocódigo 1 (norma que especifica la incidencia del viento para ser considerada en el cálculo de estructuras y edificaciones) y en su Anexo A, se puede observar que presenta valores por zonas con valores comprendidos entre los 24 y 34 m/s
Los valores de velocidad de viento son muy altos para unas hipotéticas condiciones de trabajo. En esas condiciones la máquina eólica debería permanecer parada. De todas maneras para el presente análisis se va a tomar el menor de los valores, es decir, el correspondiente a 24 m/s, condición realmente extrema que nunca sería la de trabajo.
La energía cinética (Ec) del viento que incide sobre las palas corresponde con la expresión siguiente:
Siendo
Sustituyendo en la ecuación de la energía cinética se obtiene:
Por otro lado, la presión (σ) que ejerce el aire será el cociente entre la energía cinética (Ec), y el volumen de aire que la contiene (V), de manera que sustituyendo las expresiones anteriores, se tendrá que:
Así pues, la presión que ejerce el aire por unidad de superficie de la pala es de 372,40 Pa.
Como se puede apreciar en la
La segunda de las fuerzas a modelizar es la del peso del agua de las artesas. Su cálculo es mucho más sencillo porque el agua está modelizada aunque después se haya eliminado del análisis de tensiones para hacer más sencillo su cálculo. El software Autodesk Inventor Professional proporciona las propiedades físicas de cada uno de los componentes modelizados, por lo que se conoce el volumen del agua de cada artesa de valor 0,459 m3, su masa (m) con un valor de 485,22 kg, así como el área (A) del fondo de la artesa de valor 1,53 m2. Con estos datos se calcula de una manera sencilla la presión sobre el fondo de la artesa. La ecuación de la presión (σ) es:
Donde g es la aceleración de la gravedad. Así pues, en la condición más desfavorable la presión que el agua ejerce sobre el fondo de cada una de las artesas cuando están llenas de agua, es de 3.111,12 Pa, que sería la condición más desfavorable de cara a un análisis estático.
La siguiente fuerza a modelizar es la producida por el agua ascendida por la cubeta. Como se ha explicado anteriormente, el peso del agua ascendida incide directamente en los tambores en los que está enrollada la maroma que asciende y desciende las cubetas. Se ha sustituido este peso por un momento de fuerza aplicado por igual en cada uno de los tambores. Ese momento se calcula a partir del peso que asciende de la cubeta.
Para su cálculo, se conoce que el momento de fuerza es el producto vectorial entre la Fuerza (F) y el radio de giro (r) de del cuerpo sobre el que se aplica la fuerza:
La fuerza de la que se trata es el peso de la cubeta llena de agua, que tal y como se ha indicado anteriormente, es calculado automáticamente por el software al revisar las características (iProperties) del agua de la cubeta. Se sabe que el volumen de dicha cubeta es de 100 litros, lo que equivale a 979,04 N de peso, y el radio de 0,225 m. Sustituyendo en la fórmula, se tiene que:
Existe un momento de fuerzas en cada uno de los tambores de 220,28 Nm que tiene que vencer el tornillo sinfín. Si la fuerza del viento no es capaz de superar este momento la cubeta no subirá el agua. Así pues, se puede suponer que uno de los puntos donde habrá una solicitación mayor será precisamente aquel donde tocan el tornillo sinfín y la corona dentada del tambor. Hay que precisar que cuando el eje está en una posición centrada, la cubeta está vacía, y por lo tanto, este momento no existe para dicha posición.
Por último, falta por incluir la gravedad en la simulación. Para incluir esta magnitud basta con definirla. Para ello el software permite representar el vector aplicado en el centro de gravedad del mecanismo (9,81 m/s2) en sentido negativo del eje Z.
Finalmente, una vez aplicadas todas las fuerzas, la simulación queda preparada a expensas de la discretización del dominio computacional a considerar y posterior cálculo.
El último paso antes de la simulación es discretizar todo el ensamblaje a partir de un mallado que debe ajustarse lo mejor posible a la geometría real del modelo. Los pasos que se van a dar a continuación van encaminados, precisamente, a conseguir una malla lo más fidedigna posible a la realidad modelada. Sin embargo, los puntos donde es especialmente importante ser cautos con la generación automática que nos propone el software son dos: en primer lugar, en aquellos lugares en los que la geometría es más compleja, y en segundo, en los puntos o regiones donde se aplican las fuerzas.
Al configurar el cálculo automático de la malla hay que determinar una serie de variables. El software propone automáticamente un tamaño medio para la malla del 10% de la longitud del elemento a discretizar, un tamaño mínimo del elemento del 20% del tamaño medio, un factor de modificación con valor de 1,5, y un ángulo máximo de giro de 60º. Sin embargo, estos factores se pueden modificar para determinar una malla más acorde con la geometría del mecanismo.
El presente trabajo ha utilizado los valores por defecto de mallado pero sí ha realizado un mallado especial para los elementos más sensibles, citados anteriormente. Para ello Autodesk Inventor Professional permite realizar un control de malla local seleccionando la superficie sobre la que se quiere hacer un refinamiento del mallado y proponiendo un nuevo tamaño de la malla en mm. Así pues, para las zonas sensibles se ha establecido un tamaño de elemento de 15 mm consiguiendo de este modo una malla variable pero más adaptada a la geometría de los objetos. El control de malla local se ha utilizado fundamentalmente en el punto de apoyo del eje vertical con el carro, en la inserción de las palas con sus guías, en el punto del contacto del eje vertical con el taladro practicado en el bastidor y en el fondo de las artesas. La