La evaluación de la seguridad de una estructura de fábrica es una tarea compleja debido a la naturaleza del material constituyente (anisótropo, no homogéneo y de propiedades mecánicas de difícil estimación fiable) y a un comportamiento mecánico y geométrico marcadamente no lineal. El nivel de seguridad de una estructura de fábrica, una catedral o un puente, por ejemplo, está íntimamente relacionado con la capacidad de sus arcos y bóvedas de resistir los desplazamientos o giros que puedan producirse en sus arranques, hasta el punto de que puede llegarse al colapso, a igualdad de cargas solicitantes, si tales movimientos superan unos ciertos umbrales. No se trata solamente de alcanzar el equilibrio estático de fuerzas para una geometría inicial, sino de asegurar que la deformada de la estructura no provoque efectos de segundo orden que acaben por atentar contra el equilibrio global de la estructura.

A una rotación o un desplazamiento de los pilares o de los muros que soportan un arco corresponde una variación de la geometría del mismo. Baste pensar que, en un pilar de 10 metros de altura, una rotación de sólo un grado respecto a la vertical genera un incremento de luz en el arco soportado por él de unos 34 cm (17 cm por cada lado) (1).

Al producirse tales movimientos en los arranques, el arco de fábrica cambia su geometría de partida, abriéndose las juntas entre dovelas en determinadas posiciones, con comportamiento dúctil, adaptándose a la nueva condición de contorno. Los desplazamientos de los arranques pueden ser hacia el exterior o hacia el interior, generando respectivamente un rebajamiento o un incremento de la flecha, lo cual conlleva, respectivamente, un incremento o disminución de los empujes horizontales. Este proceso, que se retroalimenta, puede disminuir sensiblemente le seguridad de las estructuras de fábrica, y hasta puede llevarlas al colapso, como se ha anticipado.

Es el caso, muy extendido, de bóvedas pesadas (no sólo las románicas) en las que el empuje ha deformado muros y pilas hacia el exterior, teniéndose que acudir a recursos como el atirantamiento (Figura 1). Aunque la deformada de pila y bóveda es perceptible, no siempre lo son las juntas abiertas entre dovelas, puesto que los sucesivos trabajos de restauración han ido tapándolas y, en parte, enmascarando el problema. Al tratarse de un fenómeno no lineal geométrico, se requiere un análisis paso a paso para poder deducir la geometría final antes del colapso.

A pesar de la importancia de este fenómeno, la bibliografía al respecto es escasa y está principalmente dirigida a arcos de directriz circular. En definitiva, este fenómeno no ha sido suficientemente estudiado para casos de arcos con geometría cualquiera. Tampoco se ha considerado el efecto del relleno que suele existir en el trasdós.

El principal objetivo de este artículo es describir el método seguido, junto con la herramienta asociada, para hallar el desplazamiento límite horizontal, hacia el exterior, de arcos de fábrica de cualquier directriz.

Este estudio incluye también la consideración del relleno granular, analizado paramétricamente para diferentes alturas. Los resultados representan gráficamente el máximo incremento de luz que los arcos de fábrica pueden experimentar en función de su geometría y relaciones canónicas. Estas gráficas ayudan en la práctica profesional para obtener los desplazamientos máximos esperables sin necesidad de realizar un análisis no lineal geométrico. Finalmente, se presenta la aplicación de lo expuesto a un caso práctico real.

En primer lugar, se presenta una breve síntesis del estado del conocimiento de arcos de fábrica sobre soportes con desplazamientos impuestos. Se describe después la metodología utilizada para el análisis de desplazamientos límite en los arcos de fábrica, con la herramienta que posibilita el cálculo. A continuación, se presentan los resultados de los análisis realizados. Tras exponer el caso práctico analizado, se presentan finalmente las conclusiones y se plantean futuras investigaciones.

En primer lugar, se han estudiado seis diferentes configuraciones de arcos de directriz circular, iguales a las empleadas en (1) para, básicamente, validar la metodología. El ángulo α (definido en las figuras 1 y 3)) varía desde 40° hasta 90° en cada configuración y, para un mismo ángulo, se han analizado arcos con diferentes relaciones espesor-radio.

La metodología descrita y la herramienta desarrollada se han aplicado al estudio de los arcos apuntados, tan frecuentes en edificios góticos. Cabe recordar que la bibliografía sobre el desplazamiento horizontal límite en arcos apuntados es muy escasa (10). Siguiendo la misma metodología empleada para los arcos de directriz circular, se establece la altura h que definirá la posición del relleno rígido. En este caso, la relación a emplear será la ratio e/L (Figura 10), siendo e el espesor del arco, con f y L definidos en la Figura 10. De igual manera que en el arco circular, así se definen el intradós y extradós del arco apuntado. En este caso se analiza un arco apuntado cuyos semiarcos están determinados por circunferencias únicas.

En la Figura 11, se presenta la evolución de las deformadas para incrementos de desplazamiento impuesto de un estribo. En este tipo de geometría, es posible que la línea de empujes sea tangente en dos puntos en el extradós, en la zona de clave, para la hipótesis buscada de empuje mínimo. Si se consideran las dos rótulas, sumando a las dos rótulas del intradós, la estructura estaría ante un mecanismo de colapso al pasar súbitamente de dos a cuatro rótulas, lo que sucedería en la hipótesis más bien poco probable de absoluta simetría de arco, despiece y aparejo de dovelas reales, juntas, …

Por ello, en este análisis ha de considerase una sola rótula, en este caso, por ejemplo (es indiferente) la rótula de la izquierda. Eso es lo que se ha observado en ensayos en laboratorio (Figura 12), que demuestran por dónde empieza a abrirse el arco cuando existen desplazamientos horizontales. Si el modelo se hubiera construido con un número muy elevado de dovelas, y simetría perfecta (que no existe), deberían apreciarse las dos rótulas teóricas en clave. Cabe recordar que, al tratarse de un problema de equilibrio, un modelo a escala reducida es perfectamente válido como herramienta experimental ya que no existe efecto de escala. Además, el modelo permite observar el cambio de posición de rótulas que experimenta la geometría adaptándose a la nueva condición de contorno conforme aumenta el desplazamiento horizontal. En esta situación, la línea de empujes será tangente en los nuevos puntos.

Aplicando el análisis a varias geometrías de arcos apuntados, definidos por una altura variable de h y con la variación de su canto e, se obtienen las curvas de la Figura 13. En ellas se representa el valor de e/L versus el porcentaje de incremento de luz que puede experimentar el arco antes del colapso. En esta parte del análisis se considera únicamente la acción del peso propio.

Al comparar los resultados obtenidos para arcos de directriz circular y arcos apuntados, se observa que los arcos apuntados presentan una mayor estabilidad frente a desplazamientos horizontales impuestos, es decir, admiten mayores desplazamientos impuestos a igualdad de luz y de esbeltez. Esto ocurre porque, debido al mecanismo de colapso, el arco siempre termina colapsando hacia el interior y el recorrido cinemático es tanto mayor cuanto mayor sea la flecha. En arcos muy rebajados, donde el espacio a recorrer es menor, el recorrido aceptable es netamente menor. Con los resultados obtenidos a través de la herramienta, y con la gráfica expuesta, es posible aproximar los resultados a ecuaciones con el objetivo de determinar el desplazamiento límite para cualquier relación de e/L. Dichas ecuaciones se presentan a continuación para facilitar su digitalización y uso práctico.

Para h=1/2 f, con valor de r ² = 1.00

Para h=1/3 f, con valor de r ² = 1.00

Para h=1/5 f, con valor de r ² = 0.99

Para h=1/10 f, con valor de r ² = 0.99

Sin relleno, con valor de r ² = 1.00

Como se ha anticipado, la herramienta desarrollada permite deducir el desplazamiento límite de arcos de cualquier geometría. Por ejemplo, se ha analizado un arco carpanel del palacio Carlos V en Granada. El arco tiene una relación e/L de 0.14 y una relación f/L de 0.29. La evolución de la deformada hasta encontrar el desplazamiento límite se presenta en la Figura 14, dando como resultado un incremento de luz del 11.70%.

En este apartado se presenta la aplicación de la metodología a un caso de estudio concreto, el puente Mantible (Logroño), (quizás) romano que, con el paso del tiempo, ha ido perdiendo bóvedas, quedando en pie hoy en día únicamente dos arcos de medio punto (Figura 15). El puente fue declarado Patrimonio Histórico de España el 25 de enero de 1983.

Inspecciones recientes han puesto de manifiesto cómo uno de sus arcos se había desplazado 0.43 m horizontalmente hacia afuera, debido al giro de la pila situada al borde del cauce, conduciendo a la geometría en el estado actual fuera la que muestra la Figura 16.

Además del desplazamiento sufrido, debido al paso de los años, la estructura ha perdido material. El origen de estos deterioros, con fisura longitudinal propia de hendimiento por compresión localizada puede asociarse a elevadas tensiones de compresión en ciertas zonas de la bóveda, a la meteorización ambiental o a ambas cosas (Figura 17).

Los datos proporcionados para el estudio de este arco de originaria directriz circular son: radio 4.87 m, luz 9.74 m, y espesor de 0.80 m. Por tanto, e/L = 1/12. Estos valores corresponden al estado inicial del arco, es decir, recién construido. Se ha supuesto que el espesor es uniforme en todo el ancho de la bóveda.

Debido a la evidente pérdida de materiales se ha realizado un análisis paramétrico considerando varios espesores del arco para estimar su influencia en el desplazamiento límite de la pila. Se considera el arco trabajando sólo a peso propio ya que, de acuerdo con los levantamientos previos que se han realizado, existe un desprendimiento del relleno rígido cuyo aporte actual es casi nulo. A ese respecto hay que añadir que, a diferencia del relleno suelto o granular, el rígido se separa del trasdós de la bóveda y, por tanto, no colabora allí donde se despega, como se ha anticipado más arriba, en este mismo artículo.

Si no se considerara la pérdida de mortero, es decir, si no se redujera el espesor de 0.75 m, el valor del desplazamiento límite obtenido con la herramienta es de 0.76 m (7.8% de la luz primitiva). Considerando que la estructura ya ha sufrido un desplazamiento de 0,43 m, se deduce que quedarían 0.33 m hasta alcanzar el colapso. En la tabla 1 se muestran los valores máximos obtenidos variando el espesor de la pieza. Una reducción del 7% del espesor lleva una reducción del desplazamiento límite del 26%.

En la Figura 18 se presentan las secuencias de deformadas del arco debidas a unos desplazamientos impuestos horizontales hacia el exterior, hasta alcanzar el colapso.

El incremento de desplazamiento impuesto lleva implícito una reducción de la flecha que, a su vez, genera un incremento del empuje horizontal. El arco en su estado inicial, cargado bajo su propio peso, moviliza un empuje horizontal de 47.26 kN. La figura 19 presenta la evolución (relativa con respecto al empuje para desplazamiento nulo) de los empujes horizontales para diferentes valores de desplazamiento impuesto, hasta alcanzar al colapso. La velocidad de crecimiento del empuje no es monótona debido a la no linealidad del problema y al cambio de posición de las rótulas (figura 18). Al producirse el colapso, el arco habrá incrementado la componente horizontal de la reacción en un 35%, manteniéndose constante, lógicamente, la vertical. Dicho análisis es determinante para estudiar un posible vuelco de la pila sobre la que apoya la bóveda.