El objeto de este artículo es presentar detalladamente un método original, desarrollado por los autores, de predimensionamiento en el plano de secciones metálicas, con la intención de que resulte útil como herramienta a los proyectistas en las fases iniciales de su trabajo.

En la etapa del diseño preliminar de los elementos resistentes principales de una estructura, como la sección transversal de un puente, las vigas de un edificio o los pórticos de una nave industrial, suele suponerse que su respuesta estructural puede descomponerse en el plano y fuera de éste. Es decir, que los comportamientos resistentes en el plano de la estructura y en el perpendicular están desacoplados, y que, por lo tanto, pueden ser analizados por separado.

En este proceso, el diseño preliminar dentro del plano es generalmente el paso que más tiempo requiere, y normalmente es llevado a cabo por proyectistas con una cierta experiencia, porque un dimensionamiento preliminar preciso, aun sin perder simplicidad, puede acelerar significativamente todo el proceso de diseño.

El dimensionamiento preliminar suele basarse en el estudio de estructuras de la misma o similares tipologías, en cuyo caso las dimensiones principales de los elementos más relevantes, como el canto de las secciones transversales, suelen definirse mediante reglas sencillas, basadas en la literatura técnica y en la propia experiencia de cada proyectista. Al respecto, véase, por mencionar unos pocos ejemplos de muestra, la compilación de dimensiones típicas para obras de paso de carreteras que se puede encontrar en la guía editada por el Ministerio de Fomento español (1), las recomendaciones que aparecen en Lebet (2), Manterola (3) o Menn (4), o los estudios de Leonhardt (5) y Salonga y Gauvreau (6) para los puentes arco de hormigón. También se recurre, principalmente en estructuras de gran coste, complejidad o novedad, a estudios paramétricos de optimización (7, 8) y de sensibilidad, en los que se pretende identificar con claridad cuáles son los parámetros que definen el comportamiento de la estructura, e, incluso, ayudar a elegir entre diferentes tipologías posibles.

Una vez establecidas las dimensiones iniciales de los elementos estructurales, a efectos de predimensionamiento, es habitual considerar que la solución es válida cuando verifica algunos criterios simplificados en relación con los Estados Límites de Servicio (ELS) y Últimos (ELU) que suelen expresarse, en estructuras metálicas, como limitaciones de tensiones y de deformaciones para determinadas combinaciones simplificadas de cargas.

Estos criterios simplificados se definen por el proyectista, que toma las combinaciones consideradas en las normativas y recomendaciones, como, por ejemplo, las recogidas en la IAP (9), el CTE (10) o el EC-1 (11), y las simplifica, escogiendo sólo las acciones que considera condicionantes del diseño final, para verificar los criterios definidos en la normativa, como el EC-3 (12) y (13) o, generalmente, versiones simplificadas de los mismos.

Salvo excepciones para casos sencillos, este proceso es forzosamente iterativo, pues los esfuerzos utilizados en el predimensionamiento (obtenidos, por ejemplo, con modelos sencillos de elementos finitos utilizando un software como SAP2000 (14)) dependen de las características mecánicas de las secciones, que a su vez se redefinen en función de esos esfuerzos. La experiencia del proyectista reduce significativamente la duración de este proceso.

El método descrito en este artículo pretende precisamente ayudar al proyectista en este proceso de redefinición de las secciones, en el que lógicamente se busca minimizar el peso propio de la estructura (es decir, su coste), sin perder de vista otras consideraciones, como estéticas o constructivas. En este proceso, a veces, lleva cierto trabajo discernir cuál es el criterio determinante del predimensionamiento, situación que se complica cuando la sección transversal ha de verificar dos o más criterios simultáneamente. En ese sentido, un método como el propuesto que ayuda a distinguir los criterios relevantes de los irrelevantes resulta de mucha utilidad.

Como se justifica en la sección 2, el método descrito es general, si bien la formulación presentada y detallada se refiere a secciones bisimétricas en doble T y en cajón.

El método está basado en dos hipótesis principales: La primera base del método es un tratamiento simplificado de la geometría de la sección, dado que sólo interesa el comportamiento en su plano. La sección se define en función de tres variables: Ω, o área total de la sección transversal; z, o distancia entre los centros de gravedad de las alas y β, que corresponde a la esbeltez de alma, o almas, de la sección. Esta definición simplificada se ha tomado de una publicación de Argüelles (15), si bien el cuerpo del artículo explota enormemente sus posibilidades, basado en la investigación desarrollada en (16).

La segunda base del método estriba en que este tratamiento simplificado posibilita que cualquier criterio de predimensionamiento que necesite el proyectista, basado en la normativa y su propia experiencia, pueda ser representado gráficamente en los ejes adecuados. Por lo tanto, pueden definirse, gráficamente, zonas de validez y de invalidez del mismo. El punto óptimo para varios criterios simultáneos puede fácilmente obtenerse mediante la intersección de las diferentes zonas de validez y seleccionando de toda esa zona el punto que maximice (o minimice) el valor buscado. Por supuesto, el proyectista puede elegir ese punto o cualquier otro del dominio de validez, por ejemplo, por razones estéticas o constructivas. En este artículo se ha considerado que lo que se busca es minimizar el peso de la sección transversal, dado que, en general, el coste del acero en una estructura metálica depende, directamente de su medición y su coste por kg colocado en obra. El método permite identificar claramente los criterios que c0ndicionan las dimensiones de la sección y minimizar eficazmente el peso propio de la sección transversal.

Como se verá, el método no utiliza ningún algoritmo de optimización, como pudieran ser los genéticos (17, 18) o metaheurísticos (19). En su lugar, el método utiliza un enfoque muy clásico desde el punto de vista estructural, que permite una interacción muy intuitiva con el proyectista durante el proceso, que se vuelve extremadamente adaptable. Asimismo, el proyectista puede incorporar fácilmente cualquier otro criterio de diseño, tipológico o constructivo que necesite, de manera similar a como se implementan los criterios expuestos en el artículo.

El método resulta especialmente eficaz cuando se han de verificar simultáneamente varios criterios, como los relacionados con la rigidez de la sección, limitación de tensiones o rotura. Se acompaña de dos ejemplos ilustrativos y recomendaciones sobre el diseño. Además, se destaca la importancia de un adecuado criterio estructural en las primeras etapas del proyecto.

Por último, se llama la atención sobre el hecho de que este método, como corresponde a cualquier estrategia de predimensionamiento, no cubre todos los posibles modos de fallo de la estructura, en particular aquellos que dependen del comportamiento en el plano perpendicular de la sección, como por ejemplo el pandeo lateral, de los que el método propuesto se desentiende. Es obligación ineludible del proyectista conocer las limitaciones de los métodos que utiliza.

El artículo comienza, en la sección 2, por establecer la simplificación de la geometría y de las características mecánicas de la sección transversal. En la sección 3, y en función de la formulación obtenida, se presentan varios criterios simplificados de predimensionamiento de la sección y su representación gráfica. En la sección 4 se detalla la metodología de predimensionamiento y se muestra algún ejemplo más de criterio de predimensionamiento. En la sección 5 se muestran dos ejemplos totalmente desarrollados. El artículo finaliza con una sección dedicada a conclusiones, que incluyen unas breves recomendaciones de proyecto.

En este artículo se usará el subíndice W para identificar las características mecánicas correspondientes a una distribución del área que maximiza el modulo elástico. Así, el máximo módulo elástico de la sección, W _W , se obtendrá para un canto del alma z _W . La inercia correspondiente será I _W . Para un valor del área dada, el valor z _W que maximiza W se puede obtener derivando respecto de z:

lo que resulta en:

un valor que depende solo de dos magnitudes elegidas por el proyectista. Una vez conocido z _W , los valores de I _W y de W _W se deducen fácilmente:

Análogamente, el subíndice I se usará para identificar a las propiedades mecánicas de la sección que corresponden a una distribución del área que maximiza la inercia. El máximo valor de la inercia, I _I , se obtiene para un canto del alma de z _I . El módulo elástico para esa sección es W _I . El valor de z _I se obtiene:

Lo que permite obtener:

La Figura 2 es útil para clarificar la notación introducida hasta ahora, pues muestra W e I en función de z para diferentes valores de β. Todas las curvas se han obtenido para el mismo valor de Ω, lo que evidencia lo relevante que puede llegar a ser el efecto de β sobre los valores de las características mecánicas de la sección.

Es de destacar que siempre se verifica que z _I > z _W . De las ecuaciones [6] y [10]:

El valor máximo posible de z es z _max , que corresponde a una distribución de área en la que toda el área de la sección está en el alma y el área de las alas es nula, lo que lleva a

por lo que, para las secciones definidas en este artículo, los valores de z mayores que z _max carecen de significado físico.

Análogamente, de las fórmulas anteriores, las relaciones siguientes entre las inercias y módulos cuando se maximiza I o W pueden resultar útiles para el predimensionamiento:

Una consecuencia muy importante es que, para el mismo valor de Ω, crecen I y W a medida que β decrece, puesto que, si bien el área del alma se mantiene constante, el brazo mecánico de las alas crece.

La Figura 3 muestra las isolíneas de I _I and W _W , respectivamente, para diferentes valores de Ω y β. Los valores más altos de I y de W siempre se obtienen, lógicamente, para las almas más esbeltas.

Para mostrar la bondad de la formulación simplificada, los valores de I _I y W _W , definidos respectivamente en las ecuaciones [11] y [8], se han dibujado y comparado con la misma formulación sin simplificaciones. Para este segundo cálculo se ha supuesto que el área de las alas, Ω _f , se ha distribuido de dos maneras: la primera es un ala exenta con una relación b/t _f =15, mientras que la segunda es una sección cajón hueca con una relación b/t _f = 42. El primer caso es aproximadamente un límite entre las clases 1 y 2 para un ala exenta en una sección armada, pues b ≈ t _w +2·9·ε·t _f ≈ 15·t _f , para f _y =355 MPa y ε=0.81, de acuerdo con el EC-3 (12). El segundo caso corresponde a un límite para clase 3, no demasiado estricto, para un ala interna comprimida. b ≈ 42·ε·t _f , para f _y =235 MPa y ε=1.00. Los resultados se muestran en la Figura 4.

Una conclusión muy práctica es que el error sólo depende de β. Para un valor dado de Ω _f , la precisión de la formulación se incrementa según decrece t _f , lo que resulta lógico pues la distancia entre los centros de las alas se acerca más al canto total. En los casos estudiados, el error permanece por debajo del 3% para W _W , y es necesario proyectar un alma con una esbeltez de 1/30 para encontrar una sección con un error del 5% en I _I . Esta precisión se considera suficiente para un diseño preliminar, y, en cualquier caso, el error puede ser fácilmente contrarrestado utilizando en el predimensionamiento valores ligeramente más conservadores para las flechas o tensiones admisibles. El error mostrado en la Figura 4 desaparece, en la práctica, si se obtienen las características mecánicas de la sección respecto de las fibras medias de las alas.

El criterio de rigidez se basa en limitar la deformación, para que resulte menor que la flecha admisible δ _max , bajo una combinación de cargas simplificada en ELS, que llamaremos por ejemplo q _k :

Para representar este criterio gráficamente basta con dibujar la isolínea I=I _min , donde I _min es el valor de la inercia que ha de tener la sección transversal para verificar el ELS de deformaciones. Por ejemplo, si se está predimensionando una viga biapoyada, y se quiere limitar el valor de la flecha máxima a δ _max en el centro de la luz bajo una carga q _k uniformemente distribuida, I _min se obtendría de la expresión:

Como en cualquier otro criterio de predimensionamiento, y dado que q _k corresponde a una combinación simplificada de cargas, que no considerará todas las acciones posibles, δ _max no ha de coincidir necesariamente con el valor máximo estricto que especifique la normativa, sino que es un valor cercano y menor que éste, definido por la experiencia del proyectista.

En la Figura 5 se representan diferentes isolíneas I=I _min , de valores I=0.001, 0.002 y 0.005, en ejes Ω-z para un valor β =1/100. Es importante señalar que todas las isolíneas quedan truncadas superiormente por la curva z=z _max . Esto ocurre porque en esa curva toda el área de la sección está en el alma y por encima de esa curva la isolínea no tiene sentido físico. Por lo tanto, la zona de validez I≥I _min será la zona del diagrama a la derecha de la curva, limitada inferior y superiormente, respectivamente por las curvas z=0 y z=z _max .

La expresión de la isolínea, para valores conocidos de I _min , β y z, viene dada por:

Como puede verse, los puntos de área mínima de cada isolínea de inercia pertenecen todos a la curva z=z _I [10], lo que significa que, si el único criterio de selección de la sección fuera la inercia, el punto de peso (área) mínimo viene dado por la intersección de la curva z=z _I con la isolínea I=I _min .

Es interesante señalar que, al contrario de lo que pudiera parecer intuitivo, para un valor dado de Ω, el aumento de canto no produce un aumento de la inercia indefinidamente, sino que disminuye a partir de z _I entre las isolíneas z= z _I y z=z _max .

De un modo similar al criterio anterior, el criterio tensional consiste en limitar la tensión normal máxima bajo una combinación de cargas simplificada en ELU, que llamaremos por ejemplo q _d , para que resulte menor que la tensión admisible:

Este criterio se reduce a obtener la isolínea σ=σ _max , en la que las coordenadas (Ω, z) de cada punto se obtienen resolviendo la ecuación:

donde N y M corresponden a los esfuerzos obtenidos para la combinación simplificada de acciones y W se evalúa mediante la ecuación [4]. Por la simetría de la sección transversal, el signo de M es indiferente. Esta expresión puede ser utilizada también como criterio de predimensionamiento en ELS, por lo que las acciones a considerar en cada caso, así como sus coeficientes de ponderación, deberán adaptarse según la normativa y la experiencia del proyectista.

Las consideraciones acerca del valor de δ _max siguen siendo válidas al hablar de σ _max , pues no ha de coincidir exactamente con el valor máximo estricto que especifique la normativa (por ejemplo, para ELU, σ _max =f_y/γ _M0), sino que será un valor cercano y menor que éste, nuevamente definido por la experiencia del proyectista.

En la Figura 6 se representan diferentes isolíneas, σ=σ _max de valores σ _max =100, 150, 200 y 250 MPa, en ejes Ω-z para un valor β =1/100, y para una pareja de esfuerzos N=100 kN y M=400 kN·m. Como en el caso anterior, la zona de validez del criterio definido por la isolínea será la zona del diagrama a la derecha de la curva, limitada inferior y superiormente, respectivamente, por las curvas z=0 y z=z _max . En el caso de que M=0, las isolíneas degeneran en líneas verticales de valor Ω=N/σ _max .

Los puntos de área mínima de cada isolínea pertenecen todos a la curva z=z _W [6], y el punto de peso mínimo está en la intersección de la curva z=z _W con la isolínea σ=σ _max .

De forma similar al caso anterior, por encima de un valor umbral, z _W , el aumento de canto provoca una disminución leve del módulo resistente entre las isolíneas z=z _W y z=z _max .

Este criterio se introduce, entre otros posibles, para ilustrar cómo en la práctica, cualquier criterio deseado por el proyectista es expresable simplificadamente en términos de Ω, β y z. Además, muestra cómo a los dos criterios mostrados en la sección 3 pueden añadirse todos los criterios que se deseen.

Cuando no es necesario considerar la abolladura en la resistencia al cortante del alma, ésta puede evaluarse mediante la siguiente expresión para dimensionamiento plástico extraída del EC3-1 (12), relativa a secciones de vigas armadas soldadas en I, en H y en cajón con carga paralela al alma:

y que, considerando η=1 conservadoramente, coincide con la fórmula para dimensionamiento elástico del EC3-1 en secciones en I o H, siempre que A _f /A _w ≥0.6, lo que permite considerar una distribución plástica de tensiones.

Con la notación empleada en este artículo, en la que el área del alma puede expresarse como β·z² la fórmula anterior queda

donde V es el cortante considerado en el predimensionamiento, lo que resulta en el criterio, en ejes Ω-z:

que es una línea horizontal por encima de la cual la sección verifica la resistencia a cortante.

En la Figura 12 se muestra cómo afecta al dimensionamiento ya mostrado en la Figura 10 cuando además se introduce como criterio la actuación de un cortante de V=1500 kN. En ella puede verse, en el extremo derecho, una rama horizontal, por debajo de la cual no se verifica la resistencia a cortante, y que restringe las soluciones válidas.

Para ilustrar la aplicabilidad del método se va a resolver el siguiente ejemplo: Se trata de predimensionar con el método descrito en este artículo una viga biapoyada en doble T simétrica, de 8 m de luz, construida en acero S 275. La limitación de flecha es δ _max ≤ L/400 bajo unas cargas en servicio simplificadas equivalentes a una sobrecarga uniformemente distribuida q _k =12 kN/m. La tensión máxima longitudinal es de σ _max ≤ 220 MPa, bajo unas acciones mayoradas simplificadas equivalentes a una carga uniformemente repartida q _d =20 kN/m. La esbeltez del alma es de 1/60, que está por debajo de la esbeltez h _w /t _w para la que, según el EC3 y para S275 (que es de 72·ε/h = 72·092/1.00 = 66.2) es necesario considerar la abolladura del alma en su resistencia a cortante.

El predimensionamiento considerará los siguientes criterios: deformabilidad máxima en ELS, tensión máxima longitudinal (momento último en régimen elástico) en centro de vano y máximo cortante en ELU en apoyos.

Los esfuerzos actuantes son M=160 kN·m y V=80 kN·m. Por otro lado, la inercia mínima de la sección, al aplicar la formulación para la flecha en el centro de vano de una viga simplemente apoyada (véase [18]) resulta I _min ≥1.6·10^-4 m⁴.

En la Figura 13 se muestra el diagrama del predimensionamiento con los diferentes criterios. Resulta muy interesante el resultado puesto que, en este caso, tanto el criterio de rigidez mínima como el de tensión longitudinal máxima resultan determinantes. Este caso en particular no resulta fácil de determinar analíticamente.

El resultado corresponde al punto z=0.439 m y Ω=5.459·10^-3 m²= 54.6 cm². Tomando estos valores estrictos, los resultados son prácticamente exactos para los valores de I _min y de σ _max .

Tomando un valor redondeado de z=440 mm, el área del alma resulta Ω _w =β·z ² =44²/60=32.27 cm². El espesor del alma será de 440/60=7.33 mm. Suponiendo el espesor del ala t _f =10 mm, y considerando el solape entre alma y ala de 0.5·t _w ·t _f, pues z es la distancia entre centros de las alas, su área resulta Ω _f =0.5·(54.6-32.27+0.733·1)=11.53 cm², dispuestas en platabandas de 115 x 10 mm. Como z=440 mm, el canto total de la viga es de 450 mm, quedando finalmente un alma de 430 x 8 mm, tras redondear t _w al espesor superior comercial más cercano.

El área total de la sección resultado queda, recién obtenido del método, de 2·11.53·1 + 43·0.733 = 54.58 cm², mientras que, si se incluyen los redondeos de alma y alas, es de 2·11.5·1+43·0.8 = 57.4 cm². El resultado será tanto más preciso cuanto más se acerque el espesor del alma teórico a un espesor de chapa comercial.

Para comprobar los resultados, la inercia de la sección resulta I=1/12·(11.5·45³-10.7·43³)=16400 cm⁴, con un error de 2.7% sobre I _min =16000 cm⁴, debido al redondeo del espesor del alma, y que desaparece (I _min =15990 cm⁴) si se considera su espesor teórico. Por otra parte, la tensión longitudinal máxima es de σ=160·1000·22.5/16400 = 219.5 MPa, casi coincidente con el objetivo σ _max ≤ 220 MPa. Los resultados mostrados muestran que el método muestra suficiente precisión para ser usado en el predimensionamiento.

En el siguiente ejemplo, que además evidencia la versatilidad del método, se muestra cómo se puede incorporar a los criterios ya mostrados, un criterio adicional de clasificación de la sección transversal. En realidad, el criterio se refiere a la clasificación del alma, pues la clasificación de las alas mostrada en la tabla 5.2 del EC3-1.1 (12) no es posible con la notación simplificada de la Sección 2 al considerar sólo el área de las alas y no sus dimensiones. Sin embargo, la clase de las alas en voladizo (Figura 14) no condiciona por sí misma el diseño, pues nada impide en principio al proyectista distribuir sus áreas en dimensiones que verifiquen los criterios anchura/espesor (c/t) correspondientes a la clase elegida. Incluso en las alas interiores se está en el mismo caso del ala en voladizo si el ancho es opcional. Sólo en el caso de que las alas sean de ancho fijo puede su clase volverse condicionante del diseño, al venir el espesor dado como resultado del predimensionamiento. En una sección doble T como la de este ejemplo, el problema de la clase de las alas puede ser ignorado.

Sin embargo, para el alma, los criterios anchura/espesor expresados como la relación c/t, sí son calculables con la notación simplificada de la sección 2, para clases 1, 2 ó 3. Como durante todo el artículo se ha supuesto que la sección es, como poco, de clase 3 (dado que el criterio tensional responde a una distribución elástica de tensiones y que toda el área de la sección es eficaz), en este ejemplo se obtienen, de una manera similar a las de los otros criterios de predimensionamiento ya mostrados, las isolíneas de los valores mínimos de t/c para los que el alma de la sección es de clase 3 (Figura 16). Se muestra, en lugar del valor c/t de la tabla 5.2, su inverso t/c porque facilita la comparación con la esbeltez del alma definida en la sección 2 (Figura 15-a), β =t _w /z≈t _w /h _f . Para la formulación de las isolíneas en los casos de axil y flector simultáneos se supone que la relación N/M en los esfuerzos finales de dimensionamiento, que son desconocidos en esta fase del proyecto, no cambia respecto a la de los esfuerzos de predimensionamiento, lo que es tanto como afirmar que ψ (Figura 16) se mantiene constante.

La utilidad de las curvas t/c=cte desde el punto de vista del predimensionamiento es clara, pues lo que interesa (por supuesto, si el resto de criterios lo permite) es que β, que se define a priori por el proyectista, sea igual o ligeramente superior al valor de t/c mínimo para que la sección sea de clase 3. Esto proporciona el alma más esbelta posible, que es tanto como decir el área mínima, puesto que se ha visto (Figura 2) que, para un área dada, I y W son mayores cuanto más esbelta sea el alma. Si no se comprueba el valor de β se corre el riesgo de que el alma resultante sea demasiado esbelta, lo que invalida la hipótesis de estar en clase 3 (y, con ella, el predimensionamiento), o, por el contrario, de que sea demasiado gruesa, lo que lleva a un exceso de material.

El proceso en la práctica es el siguiente: a) Con el valor inicial elegido de β se obtiene el punto de área mínima de acuerdo simultáneamente con uno o varios de los criterios que decida el proyectista, como los mostrados en este artículo. b) Para ese punto solución se obtiene el valor de t/c mínimo necesario para que la sección sea de clase 3. c) Tomando ahora como valor de β el valor de t/c mínimo recién obtenido se repite el cálculo del punto de área mínima. d) Se repiten los pasos b) y c) hasta que β es igual o ligeramente superior al valor t/c mínimo, es decir, hasta la convergencia. El proceso no es directo porque el valor de t/c mínimo de una iteración depende del valor de β de la iteración anterior, pero converge muy rápidamente.

Este criterio de clase de sección introduce una novedad: hasta ahora, todos los criterios se han representado en el mismo plano (Ω, z) para un valor β=cte predefinido. Sin embargo, al iterar el valor de β se trabaja en un plano (Ω, z) paralelo al anterior y diferente para cada iteración. El proceso de iteración se vuelve tridimensional, pero se conserva la aproximación intuitiva, pues toda la formulación depende sólo de las tres variables Ω, z y β.

A continuación, se muestra la aplicación del método para una sección de acero S275, para unos esfuerzos concomitantes de N=-400 kN (compresión) y M=1000 kN·m. La inercia mínima ha de verificar I _min =0.002 m⁴, y el valor absoluto de la tensión máxima es σ _max ≤ 240 MPa. En este caso no se aplica el criterio de limitación de cortante máximo. Para la primera iteración, mostrada en la Figura 17, se supone β=1/100. Aunque el algoritmo da una solución aparentemente correcta, la solución no es válida puesto que el punto óptimo, marcado por el cuadrado en la isolínea σ _max = 240, queda por encima de la isolínea t/c≥0.01, y casi por encima de la isolínea t/c≥0.0105, muy cerca del valor t/c≥0.0106, que es la esbeltez mínima para que el alma pueda considerarse clase 3.

Repitiendo ahora los cálculos tomando β=0.0106 (Figura 18), se obtiene Ω=160.4 cm² y z=87.1 cm, para una t/c≥0.0105, con lo que β≥t/c mínima para clase 3.

Es de destacar que, tal y como se ha planteado, el método queda del lado de la seguridad al calcular la clase 3, pues se exige que β (es decir β =t _w /z≈t _w /h _f ), sea mayor o igual que t/c, sin considerar el hecho de que z es sistemáticamente mayor que c, como se muestra en la Figura 15, puesto que no se consideran los espesores de las soldaduras ala-alma ni los dos semiespesores de las alas. Una vez definidos estos, el cálculo aún podría refinarse un poco más, si bien no hacerlo deja un leve margen de seguridad adicional al predimensionamiento.

Sin embargo, el punto óptimo puede cambiar al tener que emplear chapas de espesor comercial por razones constructivas. El exceso de área por este motivo puede estimarse como (t _c -β·z)·z, donde, para un valor z, t _c es el espesor comercial de la chapa inmediatamente superior al teórico del alma, β·z. El sobrepeso será menor cuanto menos exceda el espesor comercial al teórico. Para ayudar al diseño final, la Figura 19 incorpora, para el valor de β, los límites de validez de cada espesor comercial de chapa. La curva azul de validez de todos los criterios se sustituye por la curva naranja, modificada por los espesores comerciales.

En la Figura 20 se muestra un detalle del predimensionamiento de la solución y los criterios empleados en este ejemplo. El punto óptimo teórico se ha obtenido combinando los criterios de inercia mínima y tensión longitudinal máxima. Se ha tomado un punto muy cercano a la isolínea de máxima esbeltez t/c≥0.106 del alma para clase 3. Si se considera el espesor comercial del alma, se obtiene la curva naranja, que coincide con la azul donde el espesor teórico coincide con uno comercial. El nuevo punto óptimo, es justo uno de esos puntos. Lógicamente, el área es mayor, de 161.4 cm², si bien en este caso el incremento es muy pequeño.

Las dimensiones de la sección óptima son pues Ω=161.4 cm², z= 943 mm, t _w =β·z=10.0 mm. Las tensiones, medidas en los centros de las alas son σ _sup =-239.97 MPa y σ _inf =+190.41 MPa, prácticamente igual al objetivo. En lo que se refiere a la clasificación de la sección, resulta, con ψ=-0.7935 y ε=0.9244, un valor de c/t ≤ 95.1, que es cumplido por la sección, pues c/t ≈ z/t _w =1/β=94.3, del lado de la seguridad pues este valor no considera el espesor de las alas ni las soldaduras, por lo que la sección es clase 3.