Las Estructuras Recíprocas (ER) son sistemas formados por elementos (barras) conectados entre sí a través de apoyos simples por tangencia y sin intersección material; es decir, con continuidad parcial entre ellos. El concepto de apoyo mutuo o tangencia entre barras, definitorio de este tipo de estructuras, las incluye dentro del grupo de sistemas estructurales fuera del plano o sistemas espaciales. Se enmarcan en el ámbito de las estructuras entretejidas (como el punto, los textiles o la cestería) (1). Este tipo de sistemas se caracteriza por la carencia de elementos de unión entre sus componentes, reduciendo al rozamiento interno de sus uniones su capacidad de estabilización. Sus nudos básicos son, pues, contactos de fricción unilaterales con únicamente trasmisión de fuerzas tangentes a la superficie de contacto dentro de los límites impuestos por la Ley de Coulomb de Rozamiento. Debido a esta propiedad, para maximizar la cohesión del conjunto, una Estructura Recíproca optimizada es aquella que maximiza el cortante en los puntos de unión entre elementos y minimiza los esfuerzos axiales, teniendo un comportamiento similar al mecanismo de la palanca (2) (funcionamiento a flexión); en oposición a otras estructuras con las que a priori guardarían similitudes, como los gridshells, que seguirían el principio portante de la catenaria invertida. Cuando se usan las estructuras recíprocas para la generación de superficies de gran curvatura, aumentan los esfuerzos normales y en la mayoría de los casos se requiere de uniones mecánicas que garanticen la estabilidad que no es capaz de conseguir el simple rozamiento entre componentes.

Thomas Kohlhammer y Toni Kotnik, (3) establecen una jerarquía de sistemas en una Estructura Recíproca en la que distinguen:

En analogía con una teselación poligonal, podríamos expresar que el elemento es el equivalente al lado de las teselas, el sistema básico, a la tesela misma y el sistema componente, a la agrupación de varias teselas patrón o subunidad que conforma por repetición toda la teselación, que sería el sistema global.

Una Unidad o Nodo recíproco es un sistema tridimensional de tres o más elementos (barras) mutuamente soportados en circuito estructural cerrado (4). El concepto de Nodo, por lo tanto, refiere a un subtipo de estructuras caracterizadas por dos propiedades (5):

En la Figura 1 observamos dos ejemplos de nodos recíprocos con sus barras en apoyo mutuo.

Consideramos de interés apuntar la diferencia entre los conceptos de Nodo Recíproco y nudo. Entendemos por nudo el lugar de encuentro entre elementos de una estructura. Según esto, a lo largo de cada una de las barras que conforman un único Nodo Recíproco, existen varios nudos, con la particularidad de que cada nudo del Nodo está definido por la unión de únicamente dos barras.

El principio de reciprocidad (barras tangentes entre sí en circuito geométrico-estructural cerrado) posibilita que cualquier punto del elemento estructural de un Nodo sea susceptible de convertirse en nudo, por lo que estos sistemas básicos pueden conformarse como sistemas móviles, sin afectar a sus leyes de configuración, al permitir la modificación de la posición de sus puntos de apoyo mutuo o tangencias. Esta propiedad del Nodo, derivada de su condición geométrico-estructural, hace de las Estructuras Recíprocas en general, un campo de investigación propicio para la concepción de Superficies de Geometría Variable, capaces de configurar espacios arquitectónicos adaptativos.

Existen tres parámetros que determinan la geometría de los Nodos Recíprocos:

Los Nodos Recíprocos pueden agruparse en sistemas componentes, que a su vez pasan a conformar sistemas globales, por expansión de su perímetro (teselación espacial), o por densificación interior (fractalización) para formar grandes estructuras recíprocas sin la necesidad de apoyos centrales que garanticen su equilibrio: Mallas Recíprocas (Figuras 2.1 y 2.2).

Las Mallas Recíprocas formadas por agrupación, son de naturaleza no-jerárquica: poseen un comportamiento continuo estructural sin jerarquías de elementos estructurales. Las generadas por densificación, por su parte, pueden entenderse como organización jerárquica de sistemas básicos.

La geometría de las Mallas Recíprocas es de compleja definición: la posición de cada elemento determina y está determinada por la posición de todo el conjunto y puede ser entendida como una característica que emerge de la interacción compleja entre la forma, la topología y la posición de los elementos (6).

Su capacidad para construir formas complejas con escasa técnica y bajo coste y en especial su capacidad de transformación, hacen de este tipo de estructuras un campo de investigación atractivo para el estudio de Superficies para Arquitecturas de Geometría Transformable, que a día de hoy sólo ha sido explorado en sistemas retráctiles diafragmáticos mono-nodales, en configuraciones recíprocas articuladas que permiten el plegado de superficies o en sistemas de elementos definidos a posteriori a través de las curvas optimizadas de sus uniones deslizantes. Aquí, proponemos el estudio de las posibilidades espaciales y estructurales de superficies de geometría transformable compleja, conformadas por sistemas de Nodos Recíprocos de barras cilíndricas rectas iguales, definidas a priori en número y dimensión. La condición de tangencia entre los elementos de la MRT hacen que ésta pueda abstraerse en un conjunto de segmentos de rectas no secantes en el espacio con una distancia dos veces el radio.

La reciprocidad ha sido usada en todo el mundo desde tiempos inmemoriales. Ha estado presente incluso en algunos refugios neolíticos o tiendas esquimales. Aunque existen muestras de ER tanto en occidente como en oriente, han sido más comúnmente usadas en el segundo, sobre todo en la arquitectura tradicional china y japonesa (4). Artistas contemporáneos japoneses como K. Ishii, Y. Kijima y Y. Kan, todavía utilizan este tipo de sistemas estructurales en sus construcciones. Cabe destacar también el Rokko Mountain Observatory, diseñado por el arquitecto H. Sambuichi en colaboración con la firma ARUP (7) y los pabellones “Plate” y “Kreod”, diseñados por el arquitecto C.Q. Li, los ingenieros Ramboll y los consultores Evolute (8) y el Foster Park Pavilion, de S. Ban junto con C. Balmond (9).

En la mayoría de los casos, el principio de reciprocidad se ha asociado a la cubrición de luces con elementos estructurales de menor dimensión que la luz a salvar (1). Un ejemplo clásico son los diseños de L. Da Vinci (10). Igualmente, debido a las configuraciones formales fruto de este sistema constructivo, el principio de reciprocidad ha estado relacionado con conceptos espirituales y religiosos como en los techos en forma de Mandala de los templos budistas.

Para la representación gráfica a tiempo real de la transformación y estabilización de la malla recíproca, se inició el desarrollo de un software escrito en lenguaje C# haciendo uso del motor para videojuegos Unity 3D. Este método, si bien es gráficamente efectivo e intuitivo visualmente de cara a un usuario externo, debido al uso que realiza del motor Unity, no común en el campo arquitectónico, resulta menos accesible a implementaciones posteriores. Por esta razón, se ha optado por la realización de la aplicación a través de scripts o secuencias de comandos para el programa Grasshopper y Rhinoceros 3D.

La base del desarrollo de esta aplicación consiste en tres consideraciones iniciales:

Para definir la geometría de una determinada topología de MRT, primeramente, se establece una disposición inicial de los elementos que sea coherente recíprocamente con las dimensiones de las barras. Después, se permite el movimiento de dicha configuración inicial en base a parámetros controlables por el usuario de la aplicación. Por último, se analizan las fuerzas que estabilizan las geometrías transformadas. En la Figura 4, se representa la deformación de la malla de la Figura 3, de curvatura cero, en un casquete esférico.

Para ello, partiendo del nodo clave, y de los otros tres nodos triangulares, se optimiza la geometría para que, manteniendo la tangencia mutua de todos los elementos, en una primera posición compatible de la malla recíproca, se generen los nodos más regulares posibles (conserven todas sus distancias de entramado y ángulos iguales). (En este proceso, se hace uso de la parametrización expuesta en el apartado “3.1. Geometría del nodo” del presente artículo). El proceso se reitera considerando como nodo clave cualquiera de los nodos contiguos definidos.

Posteriormente, y conocidas las posiciones iniciales de todos y cada uno de los elementos de la malla, se permite la movilidad de éstos partiendo de un vector fijo y añadiendo parámetros en base a los giros permitidos, tal y como se describe para el caso de un solo nodo en el apartado “3.1.3. Geometría del nodo en transformación partiendo del caso regular” de este estudio y estableciendo condiciones de cierre de circuitos para seguir asegurando la tangencia mutua entre elementos. En la Figura 5, se ejemplifican dos posibles geometrías de una Malla Recíproca Transformable.

Una vez modificados los parámetros por el usuario para obtener la forma deseada, la aplicación estudia la geometría resultante y determina el campo de fuerzas actuantes que garantiza la estabilidad de la forma dada, (haciendo uso de las demostraciones del apartado “3.2 Estabilidad del nodo” del presente documento) analizando la resistencia de la estructura y los puntos estructuralmente críticos.

La forma final de la Malla depende de decisiones tomadas a nivel nodo, permitiéndose un control unitario de cada uno de los sistemas básicos componentes, gracias a la herencia de una parametrización de éstos en base a su movilidad.

Esta aproximación a la MRT desde la propia definición del principio de reciprocidad, el establecimiento del sistema relacional propio de cada tipo de Malla objeto de estudio y desde la materialización con elementos dimensionalmente concretos, es una aproximación basada en la definición de un módulo básico: el Nodo, cuya descripción geométrico-paramétrica y estructural se expone en el presente artículo.

La reciprocidad es, al igual que la tensegridad, una condición geométrica con implicación estructural. Su expresión formal es exclusivamente de lenguaje matemático y vectorial, por lo que su traducción a esos términos se convierte en condición necesaria para su manejabilidad. Para definir analíticamente el sistema básico de las MRT, es necesaria la traducción a lenguaje matemático-matricial de la condición de reciprocidad del Nodo: barras tangentes entre sí en circuito geométrico-estructural cerrado. Para ello, y con el objetivo de favorecer la posterior transformabilidad, estudiamos dicha condición aplicada a sistemas básicos conformados por barras de sección circular; en particular, estudiamos el Nodo triangular.

Consideramos tres barras cilíndricas, C 1 ,   C 2   y   C 3 con radio R, longitud L y directrices e 1 ,   e 2   y   e 3 respectivamente, conformando un nodo con excentricidad 2R. En la Figura 6, se muestra una abstracción geométrica del Nodo objeto de estudio. Denotamos por a i la distancia entre los puntos de apoyo y de soporte de cada barra C i componente del Nodo, medida sobre su directriz (longitud de entramado). Para determinar la localización de los diferentes puntos de tangencia, T 1 ,   T 2   y   T 3 consideramos V 1 ,   V 2 ,   V 3 vectores unitarios ortogonales a las barras dos a dos (vectores binormales) de modo que el vector V 1 es el ortogonal a las barras C 2   y   C 3 el vector V 2 es el ortogonal a las barras C 3   y   C 1 el vector V 3 es el ortogonal a las barras C 1   y   C 2 lo que puede exprese matemáticamente por:

para toda permutación positiva (i, j, k) de (1, 2, 3).

La condición de reciprocidad implica que la suma (vectorial) de las distancias de entramado entre barras en la dirección de sus ejes más las excentricidades entre barras (2R) en la dirección de los vectores binormales entre ellas, se anula (circuito cerrado de barras tangentes). Para expresarlo matricialmente, es necesario considerar las matrices E = e 1 ,   e 2 ,   e 3 y V = V 1 ,   V 2 ,   V 3 cuyos vectores columna son, respectivamente, los ejes del cilindro y los vectores V 1 ,   V 2   y   V 3 y el vector a → columna, compuesto por las distancias de entramado a 1 ,   a 2 ,   a 3 . Podemos escribir:

donde u → = 1 1 1 ,

Para expresar esta condición matricial en términos geométricos más intuitivos, definimos las matrices D y G, enunciables en términos de los ángulos ϕ i formados por los vectores V j y V k como:

Considerando [3] y [4], la ecuación [2] puede escribirse:

De la ecuación [5] podemos deducir que la distancia entre puntos de apoyo sólo depende de G , que es la matriz usual del producto escalar en la base V 1 ,   V 2 ,   V 3 . De hecho, podemos escribir:

Esta ecuación matricial definitoria del principio de reciprocidad implica que la transformabilidad del Nodo conlleva una transformabilidad en la distancia de entramado en base a los ángulos formados por las direcciones de apoyo mutuo entre elementos. En consecuencia, si fijamos una posición concreta del cilindro C 1 y una dirección perpendicular a él, V 1 entonces los ejes e 2   y   e 3 están unívocamente determinados por la matriz G .

Si bien el estudio de la geometría de este tipo de estructuras es imprescindible para la consecución de Mallas geométricamente coherentes, la finalidad de esta investigación es deducir el proceso para la obtención analítica de sistemas de estabilización de Superficies de Geometría Variable conformadas por ERT.

El concepto de transformación geométrica de una ERT se produce desde un estado de equilibrio inicial hasta un estado final con una configuración geométrica transformada también en equilibrio. Con el objetivo de estudiar el equilibrio de este tipo de estructuras, consideraremos un sistema ideal de barras infinitamente rígidas, cuyos puntos de tangencia mutuos para un instante t son apoyos continuos.

Para cualquier configuración geométrica del Nodo, podemos establecer un sistema de fuerzas como el indicado en la Figura 11.

Se trata de un sistema estructural estáticamente indeterminado, con más reacciones (fuerzas actuando en los puntos de tangencia y en el contorno del Nodo) de las que podrían deducirse de las ecuaciones mecánicas de equilibrio, y habría que recurrir a ecuaciones adicionales de compatibilidad para la determinación total de las fuerzas actuantes. Este hecho iría en contra de la premisa de partida de que estos nudos dependen exclusivamente de su geometría (equilibrio) y entraría en juego el campo de desplazamientos de la estructura.

Al considerar cada una de las barras componentes del nodo recíproco independientemente, tal y como queda expuesto en la Figura 12, se concluye que la nulidad de la resultante de fuerzas [24] y momentos respecto del punto de contorno P _k [25] de uno de los cilindros determina las siguientes ecuaciones:

Cilindro C k con   i ,   j ,   k permutación positiva de ( 1 ,   2 ,   3 ) :

El conjunto de ecuaciones de [25] para cada barra, conforma un sistema con incógnitas exclusivamente las fuerzas F i ,   i = 1 ,   2 ,   3 , , actuantes en los nudos o puntos de tangencia de la estructura. Conocidos estos valores, [24] proporciona la determinación de las fuerzas de reacción en los puntos de contorno del nodo para su estabilización. La compatibilidad y determinación del sistema conformado por [25] implica, por lo tanto, el equilibrio del Nodo.

Para el estudio de su compatibilidad y para simplificar el proceso de cálculo, disponemos referenciar las coordenadas de los vectores F i , en una base distinta a la del sistema cartesiano. Para ello, como V 1 , V 2 , V 3   son vectores linealmente independientes, se tiene que para toda permutación i ,   j ,   k de 1 ,   2 ,   3 los puntos P i , T j , T k   no son colineales y determinan un plano Π i con normal N i ,   i = 1 ,   2 ,   3 Si consideramos D = D e t ( N 1 , N 2 , N 3 ) ≠   0 y escribimos unos vectores W i intersección de dichos planos de modo que:

El conjunto W 1 , W 2 , W 3 es una base de R 3 que satisface:

para toda permutación positiva i ,   j ,   k de 1 ,   2 ,   3 .

Todo vector X puede expresarse en dicha base por:

Esta ecuación implica que, conocidos los valores escalares F i , N 1 ,   F i , N 2   y   F i , N 3 podemos determinar el valor del vector fuerza F i que actúa en el nudo i. Para ello, primeramente, multiplicamos vectorialmente en [25] por N k obteniendo:

donde A k → = L 2 P , N k e k - e k , N k P sólo depende de la geometría y del peso propio de la estructura.

Como P i ,   T j ,   T k no son colineales, si multiplicamos las ecuaciones de [29], primero vectorialmente por P k T j → y luego escalarmente por P k T i → ∧ P k T j → deducimos que:

para toda permutación positiva i ,   j ,   k de 1 ,   2 ,   3

Las otras tres ecuaciones que van a permitir determinar F i ,   N i ,   i = 1 ,   2 ,   3 y con ello F i ,   i   =   1,2 , 3 en la base W 1 , W 2 , W 3 se obtienen al multiplicar escalarmente [25] por W k   respectivamente. Concretamente:

De esta expresión y usando [26], [30] y [31] obtenemos:

donde B k solo depende de la geometría y del peso del nodo.

Si consideramos [33] como un sistema de ecuaciones lineal con incógnitas F 1 ,   N 1 F 2 ,   N 2     y   y F 3 ,   N 3 ,     observamos que la matriz de coeficientes está dada por las coordenadas de los vectores B = P 2 P 3 → ∧ W 1 , P 3 P 1 → ∧ W 2 ,   P 1 P 2 → ∧ W 3 en la base y por consiguiente [33] tiene una única solución si y sólo si los vectores de B son no coplanarios. En caso contrario, se tendría que cumplir:

para toda permutación positiva i ,   j ,   k de 1 ,   2 ,   3 siendo N el vector normal al plano que determinan los puntos de contorno   P 1 , ,   P 2 , y   P 3 , . De aquí, al multiplicar escalarmente por W k se tendría:

Teniendo en cuenta que los vectores son los normales de los planos P i , T j , T k   podemos expresar [35] por:

Usando las expresiones [27], [28] y [36] obtenemos:

y, por tanto, P k T k → ,   W k ,   N ∧ N k tendrían que ser vectores coplanarios, lo que contradice el hecho de que el plano Π que contiene los puntos de contorno y el que pasa por los puntos T 1 ,   T 2   y   T 3 no pueden ser idénticos debido a la propia geometría del sistema.

Esta demostración implica la compatibilidad del sistema [33], que a su vez posibilita la obtención de las fuerzas F ₁ y por ende la deducción de todas las fuerzas actuantes sobre el Nodo en un estado de equilibrio.

En la Figura 13, se representa la disposición de planos Π i P i , T j , T k   del nodo objeto de estudio, que expone que son planos no coincidentes, demostrando, según la tesis anterior, que, conocida la geometría de cada nodo, puede averiguarse el sistema de esfuerzos que garantiza la nulidad de fuerzas y momentos en la estructura.

Este hecho implica que la transformación de un nudo de tres barras en un nodo recíproco de tres barras conlleva el cambio de estructura estáticamente indeterminada a estructura isostática.

La estabilidad de los nodos recíprocos triangulares es pues, unívocamente dependiente de la geometría de este. En la Figura 14, puede verse una representación de las fuerzas que, actuando sobre los puntos de apoyo mutuo, estabilizan una geometría dada.