Las capillas son un elemento modular en la construcción de las catedrales, permiten el patrocinio económico de la obra, además de actuar como estribo durante la construcción escalonada de las mismas (21). Desde el punto de vista métrico, las capillas radiales y laterales deben ser iguales ya que forman parte de la secuencia del peregrinaje que circunvala la nave central (22)

La importancia de las capillas laterales tiene su origen en la liturgia gótica Prochiron, vulgo Rationale divinorum officiorum (1291) del obispo de Mende, Guillermo de Durando (1230-1296) (23) conocido en la catedral de Tortosa a través de sus códices (ACTo. 58), (ACTo. 258) y (ACTo. 290). El modelo se impone en el Sur de Francia en Nuestra Señora de la Asunción de Clermont-Ferrand (1248); Sant Justo y Pastor de Narbona (1272), y finalmente llegando a Girona (1312), donde el Cabildo impone un programa de nueve capillas en el ábside (24), al igual que el modelo de Tortosa (1383), la última de las catedrales góticas catalanas.

El patrón básico de la medida de la catedral de Tortosa es la cana (1,858 m) con 8 palmos de (0,2323 m) y este, 12 dedos de (0,019 m). La medida es muy similar a la cana destra (2,796 m), subdividida en 12 palmos destres (0,2330 m) y a su vez en doce dedos (0,019 m) (25) utilizado en el ámbito constructivo (26), con una diferencia de tan solo (0,0007 m) (Tabla 1).

El levantamiento se realizó con una Leica Scan Station C10, con precisión de 4mm a 50m; precisión angular 12’’ / 12’’; sin el uso de lentes y con un error medio de alineación entre posiciones de 6mm y un Leica Scan Station P20, con precisión de 3mm a 50m; precisión angular 8’’ / 8’’; sin el uso de lentes y con un error medio de alineación entre posiciones de 2mm, y considerados despreciables.

El error total del proceso metodológico (E_t) establece como el sumatorio de los procesos de la evaluación de las incertidumbres de la obra (E_i), el de la observación y toma de datos (E_d), más el del proceso informático del tratamiento de estos puntos (E_t), y los derivados de la apreciación en el replanteo de la obra construida (E_r):

En las medidas lineales se establece en la actualidad, en el orden de (0,025 m); por tanto, E_i= [0,000-0,025 m]. El rango del posible error del proceso de observación y toma de datos E_d= [0,000-0,010 m]. El tratamiento de datos para registrar las nubes de puntos realizado con software Cyclone, tiene una tiene un error máximo de 0,009 m. La malla 3D se establece con el programa 3DReshaper, donde la densidad de la malla se ajustó a un triángulo de 0,025 m. con un error total en un rango E_t= [0,003-0,034 m].

Para la determinación del valor de apreciación, se toma la medida del patrón del dit (0,019m), adoptando la mitad de esta medida, de manera que se establece el intervalo de E_{r =} [0,000-0,010) m], teniendo la precisión metodológica de proceso E_t= [0,000-0,077], así el error máximo es de (±0,084 m) igual a (±0,362 palmos) o (±4,339 dedos). Para la calibración tomamos el valor (5,592 m) dos canas destras, similar al ancho de las capillas, donde el error máximo de (±0,083 m) que representa el 1,502% de este patrón. Los datos obtenidos de los valores más característicos del ábside se analizan estadísticamente. De manera que el valor más probable(c _a ), será la media aritmética de los valores analizados:

Se determina el error medio cuadrático (e _c ):

El error máximo o tolerancia (e _m ) definido como:

y su el error medio cuadrático de la media (c _cm ):

E1 valor correspondiente del error relativo (e _r ) será:

Con estos valores analizados, se puede encontrar el valor estadístico del patrón de la metrología y, de esta manera, podremos determinar las proporciones que generan la arquitectura.

Para determinar la medida del patrón geométrico del ábside, se recogen las referencias de las fuentes directas. Son el caso, la sección de la catedral de Milán del dibujo M1 (c.1387-1390) atribuido a Antonio de Vincenzo (1350-c.14 02) (44) (Figura 7.a), la que aparece en la edición de Vitruvio (1521) de Cesare Cesariano (c.1483-1543) (45) (Figura 7.b), y las líneas auxiliares del pergamino de Guarc (Figura 7.c) donde la proporción se estable desde los ejes y caras interiores de los muros. De esta manera, se permite fijar biectivamente las medidas del TLS. Los diseños de Vincenzo y Guarc se basaban en un esquema proporcional con ejes auxiliares. En consecuencia, el esquema metrológico de la obra pudo haber utilizado puntos interiores de mampostería que ahora son inaccesibles.

La construcción de la girola y la articulación de las capillas hexapartidas de la catedral de Girona (1312), es similar al posterior proyecto de Antoni Guarc para la catedral de Tortosa (ca. 1345-1380), y muy diferente a la obra realmente ejecutada en 1383, con capillas radiales en forma de crucería. Analizando las medidas (TLS) y comparándolas con el modelo de Guarç podemos reinterpretar el replanteo de la catedral de Tortosa.

Para determinar el ancho total de la girola, determinamos diez radios auxiliares (rg₁-rg₁₀), desde el centro de clave del presbiterio al pie del muro de cerramiento en su cara interior. Obsérvese que la medida se toma por el radio cuyo punto sería tangente a la circunferencia, la cual es igual al fondo de las capillas (c₁, c₉), y diferente a la profundidad de las capillas (c₂…c₈.). De esta manera, se obtiene que el valor más probable c _a (rg1-10) es (17,500 m). Se determina el error medio cuadrático (e _c = 0,065 m), el error máximo (e _m = 0,205 m) y el error medio cuadrático de la media (c _cm = 0,065 m), obteniendo un del error relativo (e _r ) en el intervalo [17,565-17,435 m]. Si tomamos un valor de referencia (17,423 m) que es equivalente a 75 palmos, podemos observar que está dentro del intervalo de referencia de la metodología (17,423± 0,065 m (Figura 8).

Para determinar la medida de las nueve capillas radiales (c₁…c₉), y revisando las líneas auxiliares (T6.2) y (T6.3) (Figura 7.c), situadas en el deambulatorio, en los puntos de coincidencia del arco total de la bóveda de crucería de las capillas radiales (c₁-c₉), con el eje de los pilares P₁…P₁₀ el valor más probable es (c _a(c1-9) =5,538 m). El error medio cuadrático (e _c = 0,090m), el error máximo (e _m(c1-9) = 0,225 m) y su el error medio cuadrático de la media (c _cm(c1-9) = 0,075 m), obteniendo un del error relativo (e _r(c1-9) ) que está comprendido entre [5,613-5,463 m]. En el plano de Guarç la escala de 8 unidades corresponde a 3 canas o 24 palmos (5,575 m), estando dentro de nuestro marco de referencia. Unos resultados similares se obtienen analizando las siete capillas radiales (c₂-c₈) donde los valores de referencia están entre (5,645 m) y (5,483 m) y por tanto dentro de las 3 canas (Figura 9).

Si analizamos los diez radios del deambulatorio (rd₁-rd₁₀), en el intervalo [12,506-12,439 m], no está comprendido en un valor de referencia de 54 palmos (12,544 m), pero si dentro del error metodológico (12,544± 0,065 m) del 1,577%. Comprobando los radios en la cara interior del muro de cerramiento de 3 palmos, el valor de referencia está comprendido entre [12,234-12,202 m], en el rango de 52,5 palmos (12,196 m), con lo que el interior del deambulatorio tendría un valor metrológico de 105 palmos, corroborando que las capillas se replantean a 54 palmos de la clave mayor.

Los centros de los pilares del presbiterio (P₁₁-P₂₀), y los 10 radios (rp₁-rp₁₀) están situados en a una distancia más probable de (c _a = 6,249 m), con un valor relativo entre [6,278-6,219 m], dentro de medida de (6,272 m), que corresponde a la mitad de los 54 palmos de donde se trazan las capillas radiales (Figura 10). Los centros de los pilares P₁₂ y P₁₉ no están a la misma distancia que sus homólogos (P₁₁-P₁₂) y (P₁₉-P₂₀), ya que no tienen la misma dimensión.

Podemos especular con el método geométrico que pudieron usar para replantear las capillas radiales. La mayoría de los métodos geométricos basados en el de Abu’l-Wafa (c.993-1008) y heredados por Alberto Durero (1525) que construyen el heptágono a partir de la altura del triángulo √3/2 por lo que el tetradecágono tendría la mitad de esta medida (½√3/2=0.4330).

Existen aproximaciones buscando la relación entre la base del triángulo y su altura; caso de la proporción [7:6] de Gerberto de Aurillac (c. 950-1003) de medida (0,4286) (46). Gabriel Stornaloco en Milán en 1392 utiliza la proporción de [8:7] (0,4375) (47).

Las noticias sobre las aproximaciones aritmético-geométricas entre el radio y el lado del heptágono, como las de Herón de Alexandria (c.20-62) con relación [7:6] (0,4286), y la de Antoni Guarc (c. 1345-1380) [9:8] de manera que el tetradecágono tiene un lado de (0,8889) (Figura 11).

Se analiza la relación entre el lado del tetradecágono (ci) y los ejes radiales del deambulatorio (rdi). Se considera el lado del tetradecágono (ci) como la altura (h) del triángulo, respecto al radio del deambulatorio (ri), considerado como el lado (d) del triángulo. Así, la relación de los valores más probables de las capillas radiales (c _a(c2-8) =5,564 m) y el del radio (c _a(rd1-9) =12,553) tienen una relación (c _a(c2-8) )/0,5 c _a(rd1-9) =,0,8864 que es un valor más cercano a la resolución de Guarc (9/8).

En el caso de la catedral de Tortosa, la primera capilla que se construyó (c₁) fue la del Norte, edificándose después sobre la secuencia ordenada de Norte a Sur (c₁, c₂, c₃…c₉) a modo de cinturón (Figura 12.a). La condición metrológica se basa en el ancho de la capilla con 24 palmos, o tres canas de Tortosa, construyendo un ancho total interior de 150 palmos, igual al número de alabanzas del Libro de los Salmos, a la vez que en el atribuido a San Isidoro de Sevilla, del Libro de los Numeros (48), este número toma significado a través de las Sagradas Escrituras de número perfecto y de aquellos que son predestinados por Dios hacia la vida eterna.

La luz de las capillas radiales tiene una profundidad de 21 palmos, de manera que la construcción metrológica es [21-108-21] palmos (Figura 12.b).

La actual catedral de Tortosa tenía el centro ocupado, en el momento de su construcción, por el ábside románico, por lo que no se podía determinar directamente el diámetro del deambulatorio; el despliegue de la girola se realizó con el lado del tetradecagon0, equivalente a 24 palmos, resolviendo la circunscripción en una imaginaria circunferencia de 108 palmos. El trazado del tetradecágono, con la relación del radio del deambulatorio (18:8), con la nave lateral de (9:8) en consonancia con los criterios metrológicos derivados del orden neoplatónico medieval.

Tomando como referencia los debates del Duomo de Milán y la edición del Vitruvio (1521), Ambrogio Nava (1791-1862) reinterpretó la sección de la catedral para poder explicar el despliegue de la sección de acuerdo con un sistema proporcional entre las medidas en planta (x) y alzado (y) (55) (Figura 14.a). Reiterará la teoría Edoardo Arborio Mella (1808-1884) en los Elementi di architettura gotica da documenti antichi (56) (Figura 14.b).

Esta misma metodología es seguida en el análisis del concurso de la fachada del Duomo milanés (1886) por Giuseppe Mongeri (1812-1888) (57) (Figura 14.c) y Luca Beltrami (58) (Figura 14.d). También en la comparación entre la sección constructiva del Duomo y su sistema proporcional publicada por Camilo Boito (1836-1914) (59) (Figura 14.e) y utilizada también por Beltrami en Il coronamento nella fronte del duomo di Milano in base ad antichi disegni in parte inediti:con prefazione in risposta al voto di sette architetti (60) (Figura 14.f).

Un precedente de esta tipología compositiva podría ser el esquema proporcional utilizado en le Vesci une glize d’esquarie, ki fu esgardée a faire en l’Ordene de Cistiaus de Villard de Honnecourt (c.1175-1240) (BnF. ms. fr. 190093, fol. 14v. Lam. 27). En su análisis, J.B.A. Lassus (1807-1857) muestra extrañeza al modelo de un ábside cuadrado generado a partir de una trama ortogonal (61).

El Renacimiento aportó la representación a una descomposición de retículas de base geométrica para determinar la Proporzioni del corpo umano, del tratado De ingeneis (c.1420) de Pietro Mariano, el Taccola (1381-c.1458), (Clm. 197, fol. 36v Bayerische Staatsbibliothek) (Figura 15.a).

Esta base cosmológica se incorporó a las interpretaciones de los despliegues de la sección propuestos por el matematicus expertus artis geometria Gabriele Stornaloco de Piacenza de Paul Frank (1878-1962). The secret of the medieval masons (62) (Figura 15.b) y Guiseppe Valentini en Il Duomo di Milano. Una disputa medievale sul modello del tempio (63) (Figura 15.c).

Para determinar la medida de la altura de las nueve capillas radiales (c₁…c₉), se toma como referencia el zenit de bóveda de crucería de las capillas radiales (c₁-c₉), situado en el cuello de la clave, siendo el valor más probable (h _ca(c1-9) =10,469 m). El error medio cuadrático (e _c = 0,134 m), el máximo (e _m(c1-9) = 0,335 m) y su el error medio cuadrático de la media (c _cm(c1-9) = 0,112 m), obteniendo un del error relativo (e _r(c1-9) ) que está comprendido entre [10,581-10,357 m]. El rango del resultado estadístico está dentro de la medida metrológica de 45 palmos. (Figura 16).

La altura de las nueve bóvedas del deambulatorio (h_d1…h_d9) tiene como valor más probable (h _da(c1-9) =16,007 m). El error relativo (e _r(c1-9) ) está comprendido entre [16,070-15,94 m] dentro del rango de los 69 palmos y cercano a los 70 palmos dentro de error metodológico (Figura 17).

En el caso de la clave del presbiterio, que dispone de un diámetro de 10 palmos hace que exista una sombra sobre la nube de puntos sobre su cuello (Figura 18.a). La sección de la bóveda se determina a través de los puntos (TLS), conociendo el punto A (22,908 m), y dado tiene la sección a cuarta, podemos deducir prolongando dicho arco, el centro de clave que se situaría en (B) a una altura de 23,237 m respecto al pavimento del presbiterio (Figura 18.b). Tomando como valor metrológico el de 100 palmos (23,230 m), se obtiene un valor similar al resultado indirecto determinado por (TLS).

Analizando la altura de las capillas radiales (45 palmos) con relación a la proporcionalidad de la teoría de la sección gótica con respecto a la metrología de la planta, se observa que en la mitad del deambulatori0 (27+ ½ 27= 40,5 p) se forma una proporción entre la altura de la capilla y el deambulatorio (45/81), que expresa un desarrollo de una relación de (9÷5) (Figura 19.a). El despliegue teórico del deambulatorio se realizada desde el muro interior de este espacio medido sobre el eje de los pilares (P₁-P₁₀), el valor de estos puntos (e _r(c1-9) ) está comprendido entre [12,234-12,202 m] dentro de la metrología de 105 palmos. Comprobando la medida sobre las bóvedas desde la clave la medida (e _r(b1-9) = [12,065-11,860]) y que proyectada sobre el eje del pilar con el que forma un ángulo, con un valor de escala de (f= 1,026) nos daría un valor similar al establecido por los radios de 105 palmos.

El valor de referencia de las claves del deambulatorio [16,070-15,94 m] está dentro del rango de los 69 palmos. Dado que el despliegue de la planta para (9÷5) habría de ser 58+1/3 palmos está lejos del valor del remate de las capillas absidiales. Si realizamos una comprobación para la relación (9÷6), la altura de las bóvedas del deambulatorio habrían de situarse a los 70 palmos (Figura 19.b,c). La clave mayor se sitúa a 100 palmos sobre un ancho total de 150 palmos desde la girola hasta la base de la cara interior del muro de la fachada (Figura 19.d,e). Con estos valores podemos plantear un despliegue en planta de las medidas [81-105-150 palmos], elevados en su altura de forma metrológica correspondiente a [45-70-150 palmos] (Figura 20).

Si analizamos la ejecución de la obra se observa que al acabar las capillas del ábside con una proporción (9÷5) (Figura 21.a) se cambia a una proporción (9÷6) (Figura 21.b). La nueva proporción la establecen Pascacio Xulbi (ac. 1383- 1441) y Juan Xulbi (ac 1416-1428), maestros que participaron en el debate sobre la nave única de Girona (1417), donde ya hablan de proporción a terça (3:2) y que la imponen unos años después en Tortosa (Figura 21.c). Ellos serán los responsables del replanteo del deambulatorio y como consecuencia del presbiterio. También de la colocación de la piedra clave, de diez palmos de diámetro rodeada con 10 ángeles (64). Serán los responsables de introducir las molduras de los pilares del presbiterio que han de encajar con los nervios de las bóvedas y con la clave mayor situada a 100 palmos de altura.

El cambio de sección inicial de (9÷5) que había de culminar a una altura de (83+1/3 p) sirvió para magnificar visualmente la clave mayor a (100 p) (Figura 22.a). Situados bajo el centro de las claves de las capillas laterales, la imagen de la Coronación de la Virgen es tangente a los arcos formeros del presbiterio, actuando el fondo escultórico como un calado (Figura 22.b). En el De civitate Dei de San Augustín de Hipona cien es el número que representa la totalidad (65). De esta manera la clave de medida 10 palmos, al ser multiplicada por 100, se convierte en un cubo que resulta 1000: mil es el número perfecto de la plenitud del tiempo (66).