A pesar de que la bibliografía y las memorias consultadas nos indican que, habitualmente, la tipología Vierendeel era calculada con procedimientos analíticos, la metodología de la Estática Gráfica (14), usual en las Escuelas Técnica en el periodo que estudiamos, también se aplicó para el cálculo de vigas con morfología similar, aunque con un comportamiento completamente diferente.

Un ejemplo de ello es la viga de cubierta de los Magazzini Generali en Chiasso (Suiza) (figura 6) del ingeniero Robert Maillart (15). Aunque, generalmente, el método de la estática gráfica se aplica a vigas reticulares con uniones articuladas, hay casos excepcionales en los que las diagonales de arriostramientos pueden ser eliminadas. Esto se consigue gracias a la optimización de la forma funicular del cordón inferior (16).

“En el caso de mayor complicación […], en los que el cálculo resulta demasiado lento o expuesto a error, se emplea el método experimental en modelo reducido […]” (17).

A principio del siglo XX, el empleo de prototipos sirvió para experimentar en diferentes ámbitos de la construcción y fueron utilizados tanto por arquitectos (18), como por ingenieros. En España, de la mano de Eduardo Torroja (1899-1961), destaca el modelo realizado a escala 1/10 para el Frontón Recoletos (19). En Italia, encontramos a la figura de Pier Luigi Nervi quien, primero en los laboratorios de Milán y posteriormente en su propio laboratorio experimental en la Magliana (Roma), realizó modelos a escala real que le ayudaron a conocer “la realidad de cada caso singular, copiando las características peculiares e introduciendo en el modelo materiales, cimentación, vínculos, uniones y modos de ejecución que […] suministran en, compensación, una visión sintética del problema más real y, por lo tanto, más adherida a la verdadera finalidad de las pruebas experimentales” (20). Ambos ingenieros, casi de manera contemporánea, utilizaron modelos experimentales cuya finalidad era comprobar la resistencia de construcciones con soluciones formales en las que “el cálculo matemático estimativo, con sus necesarias simplificaciones y esquematizaciones, ya no es suficiente” (20).

También encontramos en ambos ingenieros ejemplos de modelos experimentales realizados con vigas Vierendeel. Todo parece indicar que Eduardo Torroja utilizó por primera vez la viga Vierendeel en dos construcciones para la Ciudad Universitaria. La primera de ellas se encuentra en el pasillo de conexión realizado entre la Facultad de Física y la Facultad de Química que formarían parte del denominado “campus” de Ciencias. El otro ejemplo lo encontramos en la cubierta de una cátedra del Hospital Clínico de Ciudad Universitaria. Ambos proyectos comenzaron a ejecutarse aproximadamente en el año 1933 y, sin embargo, no se han encontrado referencias de los cálculos utilizados más allá de un modelo reducido y una hoja de cálculo, a pesar de que en el libro en el que Torroja recopiló sus principales proyectos realizados entre 1926 y 1936 (17) sí que hace mención al método de Cross como algo recurrente en los proyectos de Ciudad Universitaria. En su archivo no se encuentra ninguna referencia al método de Cross hasta 1941 en el que es utilizado para calcular la estructura de los cuarteles militares de Granada.

Nervi, por su parte, experimentó con modelos a escala real el uso de vigas Vierendeel para la construcción de cubiertas con grandes luces, tanto formando arcos mediante elementos prefabricados (Figura 7), como con vigas que se entrelazaban para materializar cubiertas reticulares. Sin embargo, a razón de los resultados obtenidos, la viga Vierendeel fue descartada en favor del uso de vigas reticulares (20).

“M. le Président annonce que la Société a le plaisir d’avoir ce soir comme conférencier M. le professeur Vierendeel, Ingénieur en chef du Service Technique de la Flandre occidental (Belgique), qui est venu exposer devant la Société la théorie complète du système de pont qu’il préconise” (21).

La Sociétée des ingenieurs civils de France, recogía en sus Memoires et Compte Rendús des Travaux de julio de 1900 el artículo Théorie générale des Poutres Vierendeel (1), donde el autor A. Vierendeel sucintamente presentaba el método de cálculo que previamente había presentado en la memoria Longerons en treillis et longeron à arcades. Sería la génesis de lo que posteriormente se conocerá como viga Vierendeel. En el artículo, de más de 60 páginas, el autor presentaba y formulaba su teoría con distintas casuísticas.

En el año 1925 aparecía publicado el libro Mecánica Elástica (22), obra del Ingeniero de Caminos y profesor de la Escuela Especial del Cuerpo, D. Alfonso Peña Boeuf (1888-1966). Cinco años más tarde salía a la luz la segunda edición (ampliada) del mismo (23). Del prólogo se deduce que el autor, fruto del encargo de la sustitución docente de su maestro - el sabio Zafra-, quiso exponer en “pocas lecciones una síntesis de los modernos métodos elásticos con las aplicaciones más interesantes en el cálculo de las estructuras indeterminadas estáticamente, de tal modo que fuera fácilmente asimilable sin dificultad, aun en aquellos casos en que la estructura fuera complicada” (22).

El libro, publicado (por Talleres Voluntad), fue un referente que vino a llenar un vacío en el mundo de los textos técnicos, especialmente aquellos con matriz española (24). En el capítulo V del mismo, dedicado a las estructuras múltiples, encontramos un apartado de 8 páginas dedicado a la viga Vierendeel. Según el autor, éstas son aquellas vigas “formadas por cabezas enlazadas por medio de montantes verticales”, pretendiéndose “determinar una fórmula general que permite calcular con gran sencillez estas vigas” (23). El punto clave, demostrado por Vierendeel, consiste en destacar “la existencia de una inflexión”, esto es un punto de momento nulo (a igualdad de Inercias de cabezas y montantes), “en el punto medio de los montantes”. Este hecho, simplifica notablemente las relaciones existentes pues, el equilibrio de media viga debido a un plano medio que contiene dichos puntos generará sólo esfuerzos axiles (de compresión o tracción) y cortantes, simbolizados por el autor por q y π respectivamente (figura 8).

Así pues, el objetivo será precisamente la obtención de estos valores. El autor presenta dos posibles soluciones. La primera, que es la que él enfatiza, aplicando el teorema de Castigliano (perfectamente conocido en la época). La segunda, según el autor más tediosa, fuere la propuesta por el mismo Vierendeel. Consistiría en calcular la deformación lineal y angular de un punto en función de q y π y establecer la igualdad en los puntos medios de los montantes, entre la mitad superior y la inferior.

El año 1928, el arquitecto Luis Moya Blanco (1904-1990) publica un documento titulado Las Vigas Vierendel (1928), según recoge Antón González Capitel (1976) en su tesis doctoral (25) dentro del apartado bibliográfico de textos escritos y de trabajos no proyectuales del arquitecto de Madrid. Como en el caso anterior, hacemos notar una variación en el nombre del ingeniero belga transcrito como Vierendel. El arquitecto de Madrid afirma que “una viga Vierendel, en general, constituida por dos cordones, superior e inferior, rectos o poligonales, unidos por montantes verticales, tiene el aspecto de una sucesión de rectángulos o trapecios” (26) (figura 9). Según el propio autor, “el cálculo es pesado en el caso general; pero se simplifica en el caso frecuente en que los cordones superior e inferior son rectos y horizontales, de igual momento de inercia y con cargas aplicadas sólo en los nudos” (26).

En la Revista Nacional de Arquitectura, el año 1946 se presentaba un artículo de escasas ocho páginas titulado Estudio de la Viga Vierendeel(27), del arquitecto Javier Lahuerta. Según el autor, este tipo de viga, “con el que es posible salvar vanos de gran amplitud, es excepcionalmente apropiado para la arquitectura”. Él mismo refiere a la solución propuesta por Vierendeel para su resolución, aunque indica que conlleva “las hipótesis de tramos de igual luz, momentos de inercia iguales en cabezas y montantes y cargas sólo en los nudos”. Además, remarca que obtener la solución implica “la resolución de un sistema de ecuaciones con tantas incógnitas como montantes”. Este hecho pudiere parecer insignificante para un estudiante o técnico de hoy en día, pero no hemos de olvidar que la sentencia fue formulada en la década de los años 40 donde, principalmente, se contaba con reglas de cálculo. El autor dará un paso más refiriendo que “no es difícil abordar el problema directamente y contar con la posibilidad de que cabezas y montantes tengan el momento de inercia preciso, de tramos de amplitud cualquiera, y con el efecto de cargas en vanos”, ofreciéndonos, por lo tanto, la resolución del planteamiento general de la tipología estudiada. Partiendo de las formulaciones de la pieza aislada que ofrece la Resistencia de Materiales y, planteando las correspondientes ecuaciones de equilibrio de momentos en los nudos, así como la igualdad de los giros de extremo de barra, el autor presenta las fórmulas generales para la resolución de la viga Vierendeel. La novedad de las mismas, respecto a las presentadas por Peña Boeuf, radica principalmente en su aplicación a luces de tramos cualquiera. Llegados a este punto, el autor a modo de prontuario daba la relación de los momentos finales para vigas de tres, cuatro y cinco tramos, tanto para cargas puntuales como cargas uniformemente repartidas en los vanos.

Con las formulaciones recogidas, podemos afirmar que la resolución de la viga Vierendeel estaba prácticamente resuelta. Ahora bien, ello implicaba la resolución de un sistema de ecuaciones largo y monótono o bien la adaptación de la tipología a las formulaciones dadas en el prontuario. Fuere necesario obtener un medio ágil, a la vez que generalista, que permitiese la resolución de la tipología de manera cómoda para el ingeniero estructural.

“Un pedazo de papel y un lápiz bastan para acometer el análisis de cualquier estructura reticular” (30).

Hablar del Método de Cross en España, es hablar de la figura de Don Carlos Fernández Casado, quien fue su introductor y su valedor (31). Él mismo, ya a principios de los años 30, intuyó que el método formulado por el americano generaría un vuelco en el mundo del cálculo estructural. Los métodos existentes a principios de siglo XX vendrían a ser sustituidos por una nueva formulación técnica: los métodos iterativos -entre los cuales se encontraba el método del norteamericano.

“Inmediatamente adoptamos el método de cálculo para nuestros proyectos y figuró oficialmente por primera vez en un concurso del año 1932 donde utilizamos, además la simplificación de cargas y estructuras simétricas” (30). Todo parece indicar que se trataba del proyecto para la construcción de la nueva Facultad de Filosofía y Letras de la nueva Ciudad Universitaria en Madrid, resultando esas obras adjudicadas el 20 de julio de 1932 a la empresa Huarte y Cía (32). El ingeniero riojano, a pesar de no formar parte del grupo de técnicos que dirigían la construcción de la Ciudad Universitaria de Madrid, tuvo oportunidad de participar en alguno de estos proyectos como técnico de la constructora Huarte y Cía que, en aquella época, comenzaba su andadura e intento de expansión por todo el territorio nacional, todavía bajo el nombre de Huarte y Malumbres (33). Huarte se rodeaba de arquitectos e ingenieros con los que participaba en las licitaciones de la ejecución de las obras ofreciendo, según palabras del hijo de D. Carlos Fernández Casado, el también ingeniero Leonardo Fernández Troyano “un cambio de estructura para abaratarla y mejorarla” (34) consiguiendo de este modo adjudicarse muchas obras que posibilitaron el crecimiento de la constructora de Huarte hasta convertirse en una de las más importantes de aquella época.

Una vez formulado el método, hacía falta una obra docente (para el alumno, el profesor y el técnico) que presentase pedagógicamente el método, pero sin perder en ningún punto el rigor y la veracidad. Fernández Casado, adelantándose a los tiempos venideros, introdujo en el estado español un método que posee en grado sumo las tres cualidades que deben exigirse a un método de cálculo: “universalidad, sencillez y exactitud” (35); la primera edición del texto Cálculo de Estructuras Reticulares veía la luz (figura 10).

Hablamos de 1934. El autor, ya en esta primera edición indicaba la importancia del nuevo método que presentaba. El libro, conocido tradicionalmente como el Fernández Casado(31), tuvo desde el primer momento el rigor y la precisión, así como el sentido físico y la pedagogía, que siempre han acompañado los trabajos de Don Carlos Fernández Casado, convirtiéndole en un insigne referente dentro del mundo del cálculo estructural.

Continuando,

La difusión que tuvo el texto fue amplísima. Junto con la claridad expositiva del método, múltiples ejemplos ayudaban al lector (estudiante, docente o profesional) al aprendizaje de forma amena y exhaustiva del Cross (figura 11). Muestra de ello se puede constatar en gran parte de las memorias de cálculo realizadas a partir de este periodo, pues se encuentran realizadas con este procedimiento.

La justificación del porqué del método escogido nos llega unos años más tarde - en la segunda edición de 1940- cuando Don Carlos prologa el texto afirmando “que la materia impone al método, será más adecuado aquel cuyo contenido imaginativo sea más intenso, aquel en que trasparezca con más fuerza la realidad del fenómeno físico” (36). Y es que a partir de la segunda edición se incide especialmente en la deformada (“la única realidad física sensible” (37)) y en el diagrama de tracciones (“rompiendo la incertidumbre tracción-compresión” (37)), complementando así los diagramas fundamentales.

Siendo consciente que el método de Cross iba tomando arraigo en nuestro país, D. Carlos explicita que “dos notas características del método son: dar sentido físico a las operaciones de cálculo y realizarlas materialmente sobre un esquema que reproduce la estructura” (37) dejando claro nuevamente la preocupación por la comprensión del fenómeno físico.

También en la edición de 1967 (38), octava y última, vuelve a quedar clara la premonición del autor previendo cada vez más el uso de los ordenadores electrónicos que en esos momentos estaban comenzando su irrupción. Lejos de verlo como un problema afirma que “resuelven la rutina de cálculos matemáticos simples, y le permiten (al técnico) dedicar su actividad creadora al proyecto”. Así pues, lejos de pensar que el método de Cross quedaría como una cosa obsoleta o un arcaico método de cálculo que tuvo su época gloriosa, se incide “que su interés didáctico de conocimiento de las estructuras reticulares, le da su verdadera categoría”. A pesar de ser sentencias formuladas a finales de la década de los años sesenta, hoy en día retienen su actualidad y vigencia ya que, “en los casos de un entramado de gran complicación, nadie que no sea un retrógrado dudará entre resolverlo por el método de cálculo que sea, y acudir a un programa de los muchos que existen para estructuras reticulares”. Y es que para el autor “intuición y experiencia son las dos fuentes vivas a las que ha de acudir el que proyecta” (13). Todo ello añadido al tercer ítem que fuere el cálculo. De hecho, este pensamiento fue formulado por un joven e intuitivo Carlos Fernández y transcrito en la Revista de Obras Públicas del año 1931 en su primer trabajo de la serie que dedicó a la teoría del arco (39).

La formulación fundamental del método, podríamos sintetizarla en la siguiente frase:

Las situaciones que se consideran las exponemos en cuatro etapas consecutivas (figuras 12 - 13). (Éstas han sido obtenidas del libro del profesor Antonio Pey Cuñat, docente en la Escuela Especial de Ingenieros de Industrias Textiles de Tarrasa (41):

Etapa Fundamental. Nudos absolutamente rígidos (I) y Nudos giratorios, pero no desplazables (II).

Etapa Paramétrica. Nudos desplazables, pero no giratorios (III) y Nudos giratorios desplazables (IV).

La aplicación del método de Cross al análisis global de la viga Vierendeel supondrá una sistematización del mismo conduciendo, sin duda, a un cálculo mucho más ágil del proceso, especialmente si lo comparamos con los anteriormente descritos que fueren los que el ingeniero estructural disponía. No será necesario que las longitudes de los marcos sean iguales, ni que los perfiles de los cordones o diagonales tengan la misma inercia. Ahora bien, el hecho de que éstas comúnmente sean diseñadas como simétricas geométricamente, simplificará aún más la metodología al técnico. Y es que, sin duda, otra de las grandes aportaciones que introdujo D. Carlos a través de la formulación del método de Cross, fue el uso de las simplificaciones debidas a la simetría o antimetría de la estructura (figura 14). Este hecho permitía, con unos breves cálculos previos, el estudio sólo de una parte de la mitad de la misma.

Este hecho resultaría de especial interés para las tipologías Vierendeel que estudiamos pues acostumbran a ser de geometría simétrica con disposición de carga simétrica (figura 15) o de geometría simétrica con disposición de carga antimétrica (figura 16). Hacer uso de las simplificaciones formuladas por D. Carlos Fernández, conlleva que sólo estudiando parcialmente la misma, obtengamos el resultado total de la estructura.

La estructura de la figura 15 presenta una simetría en cuanto a la geometría, mientras que, en cuanto a la carga, presenta una simetría respecto al eje vertical y una antimetría respecto al eje horizontal. Para esta figura, el grado de desplazabilidad es 1. Las simplificaciones nos permiten sólo estudiar una cuarta parte de la estructura tal y como se indica en la figura 17, para obtener el diagrama de momentos resultante (figura 18).

En el caso de la figura 16, que presenta simetría geométrica, pero antimetría de cargas, también presenta un grado de desplazabilidad 1 para la carga propuesta. Nuevamente el uso de las simplificaciones nos permite eludir el cálculo total de la estructura (figura 19) para obtener el correspondiente diagrama de momentos (figura 20).

El marco teórico descrito previamente, fue usado también por D. Carlos Fernández Casado en el cálculo de estructuras reales que contenían la tipología Vierendeel, como veremos a continuación.

La nave de montaje del Instituto Nacional de Técnica Aeronáutica (I.N.T.A.) construida en Torrejón de Ardoz por la empresa constructora Huarte y Cía es uno de los proyectos en los que aparecen gran número y variedad de vigas Vierendeel. La adjudicación se consiguió mediante un concurso de proyecto-construcción donde, sin intervenir en la parte de distribución arquitectónica de la misma, las empresas tenían que resolver la estructura portante. Los ingenieros D. Carlos Fernández Casado y D. Ildefonso Sánchez del Río, contando con la colaboración de los también ingenieros de caminos D. Ignacio Vivanco y D. José Manuel Fernández Oliva se ocuparon del proyecto estructural de la propuesta ganadora presentada por Huarte (42).

El programa planteaba la necesidad de resolver la cubrición de dos naves de 60 y 40 m., respectivamente, destinadas al taller de montaje propiamente dicho. Un espacio ocupado por oficinas y otro para el taller de reparación, completaban el conjunto. Varios arcos atirantados, de 60 y 40 m., resolvían las luces más exigentes de las naves principales, y el resto de elementos estructurales de cubrición fueron resueltos en su mayoría por vigas Vierendeel de diferentes dimensiones (figuras 21 y 22). El volumen destinado a oficinas, situado a continuación de la nave de 40 m. de luz, se resolvía en dos plantas. Según las indicaciones del programa de la licitación, los pilares en el interior de este cuerpo se redujeron a 4, seguramente para posibilitar mayor flexibilidad en su distribución, por lo que los ingenieros se vieron obligados a plantear “una solución extraordinaria para la estructura de este pequeño edificio” (43). Dos vigas Vierendeel de 40 m., planteadas en tres vanos (10+20+10 m.) gracias a los cuatro soportes interiores, resolvían los vanos interiores de las oficinas. Los cantos de estas vigas coincidían con la altura de una planta y los cordones inferiores y superiores de las Vierendeel fueron utilizados para apoyar los forjados que resolvían los forjados de la planta primera y de la cubierta.

El volumen de taller comenzaba adherido lateralmente a la nave de 40 m. para luego prolongarse más allá de las oficinas dejando un espacio central vacío. En las bases de la licitación se exigía que la cubierta estuviese resuelta con dientes de sierra para posibilitar la entrada de luz cenital en el espacio interior creado, además de limitar el número de apoyos interiores. Los espacios destinados a taller eran dos volúmenes simétricos que, en la zona adyacente a la nave de montaje tenían un ancho de 15 m. que luego se ampliaba a 25 m. una vez se extendían más allá del volumen de oficinas. Todos los vanos se plantearon para ser resueltos con Vierendeel que hacía de lucernario vertical en el que apoyaban los forjados inclinados. En la zona más estrecha del taller se proyectaron Vierendeel de 15 m. de luz sin apoyos intermedios y en la zona más ancha aparecían pilares intermedios para permitir que las vigas Vierendeel de cubierta pudieran prolongarse, con el mismo canto, un vano más de 10 m. de luz.

Otras dos vigas Vierendeel fueron diseñadas en este proyecto. En este caso se trataban de la torre de mando del aeródromo de Torrejón (figura 23). La excusa para utilizar esta tipología estructural en este cuerpo era la necesidad de levantar dos plantas en una zona donde debían pasar los vehículos al campo de aterrizaje, por lo que nuevamente se aprovechó el canto de las vigas Vierendeel como altura entre plantas de forma que los forjados se apoyaban en los cordones superior e inferior. En este caso, las vigas estaban en fachada, por lo que la ausencia de triangulación posibilitó la apertura de huecos de fachada entre los montantes.

Como se indica en la memoria del proyecto (42), transcrita posteriormente en sendos artículos recogidos en la Revista de Obras Públicas (43, 44), la simplificación de la doble simetría explicada anteriormente permitía “reducir la estructura a la cuarta parte, resultando un pórtico de tres vanos con posibilidad de asiento en los nudos intermedios” (43). Y continúa:

Para determinar las características de dinteles y montantes tenemos en cuenta los acartelamientos eficaces. En una primera etapa analizamos la flexión directa ya que las cargas se transmiten a lo largo de los cordones. Después tenemos en cuenta la desnivelación de nudos, que acudiendo al procedimiento indirecto exige tres distribuciones y la resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (43).